Calcular \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} e^{\frac{y}{x+y}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} e^{\frac{y}{x+y}}\;dy\,dx
sobre o triângulo D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
Conteúdo: mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar as variáveis
u = x+y,\quad t = \frac{y}{x+y},
que transformam D em um retângulo simples em (u,t).

Passo 2

Expressamos x e y em função de (u,t).
Como y = tu e x+y = u, segue
x = u - y = u - tu = u(1-t),\quad y = ut.

Passo 3

Calculamos o jacobiano
J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,t)} = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial t}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1-t & -u\\[3pt] t & u \end{pmatrix} = u(1-t+t)=u.
Assim dx\,dy = |J|\,du\,dt = u\,du\,dt.]

Passo 4

Em (u,t), o domínio D vira
0\le u\le1,\quad 0\le t\le1.
E a integranda fica
e^{\frac{y}{x+y}} = e^t,
logo a integral original é
\int_{u=0}^{1}\int_{t=0}^{1} e^t\;(u)\;dt\,du.

Passo 5

Como não há acoplamento entre u e t, separamos as integrais:
\Bigl(\int_{u=0}^{1}u\,du\Bigr)\,\Bigl(\int_{t=0}^{1}e^t\,dt\Bigr) =\left[\frac{u^2}{2}\right]_{0}^{1}\,\bigl[e^t\bigr]_{0}^{1} =\frac12\,(e-1).

Resposta

\displaystyle \frac{e-1}{2}

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