Exercício 5. Faça o que se pede:
Derive a função f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.
Esse é um problema de derivação de quociente de funções. Vamos usar a regra do quociente, que diz: se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Identificamos u(x)=x e v(x)=x^{2}+1. Calculamos as derivadas:
u'(x)=1, \qquad v'(x)=2x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{1\cdot\bigl(x^{2}+1\bigr)-x\cdot(2x)}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
1\cdot(x^{2}+1)-2x^{2} =x^{2}+1-2x^{2} =1 - x^{2}.
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f'(x)=\frac{1 - x^{2}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1 - x^{2}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.

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