Determinar os seguintes limites: a,b>0
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tgh}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tanh}(x)}{x},
que é um limite de função hiperbólica, em que a substituição direta dá \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a regra de l’Hôpital, que trata justamente de formas indeterminadas 0/0.

Passo 2

A regra de l’Hôpital diz que, se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 e f e g são diferenciáveis perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse último limite exista.

Passo 3

Aqui temos f(x)=\operatorname{tanh}(x) e g(x)=x. Calculamos as derivadas:
f'(x)=\sech^2(x), \qquad g'(x)=1.
Aplicando a regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tanh}(x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sech^2(x)}{1} = \lim_{x\to0}\sech^2(x).

Passo 4

Lembrando que \sech(x)=1/\operatorname{cosh}(x) e \operatorname{cosh}(0)=1, temos \sech(0)=1, logo
\sech^2(0)=1^2=1.
Portanto o limite é 1.

Resposta

1

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