Supondo que as funções diferenciáveis y=y(x) e z=z(x), z>0, sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas \frac{d y}{d x} \mathrm{e} \frac{d z}{d x} :
\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \\\ x+y+z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções diferenciáveis y=y(x)\) e \(z=z(x)\) (com \(z>0\)) que satisfazem, para todo \(x\), o sistema \[\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4,\\\ x + y + z = 2. \end{cases}
Queremos encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx}\] e \(\displaystyle \frac{dz}{dx}. A estratégia é derivar implicitamente cada equação em relação a x e depois resolver o sistema linear que surge para y' e z'.

Passo 2

Derivando a primeira equação
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4
em relação a x, usando \frac{d}{dx}(x^{2})=2x, \frac{d}{dx}(y^{2})=2y\,y' e \frac{d}{dx}(z^{2})=2z\,z', obtemos
2x + 2y\,y' + 2z\,z' = 0.
Dividindo tudo por 2, fica
x + y\,y' + z\,z' = 0.
É a primeira equação em y' e z'.

Passo 3

Derivando a segunda equação
x + y + z = 2
em relação a x, temos
\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(z) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + y' + z' = 0.
Essa é a segunda equação em y' e z'.

Passo 4

O sistema para y'\) e \(z'\) é \[\begin{cases} y\,y' + z\,z' = -x,\\\ y' + z' = -1. \end{cases}
Usando substituição, da segunda equação (y’ = -1 - z’]. Plugando na primeira:
y\,(-1 - z') + z\,z' = -x \;\Longrightarrow\; -y - y\,z' + z\,z' = -x \;\Longrightarrow\; (z - y)\,z' = -x + y \;\Longrightarrow\; z' = \frac{y - x}{\,z - y\,}.
Então
y' = -1 - z' = -1 - \frac{y - x}{z - y} = \frac{-(z - y) - (y - x)}{z - y} = \frac{x - z}{\,z - y\,}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{x - z}{\,z - y\,}, \qquad \frac{dz}{dx} = \frac{y - x}{\,z - y\,}.

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