Ao calcular, por integração dupla, o volume V do sólido situado abaixo do paraboloide z=x^2+y^2 e limitado inferiormente por uma certa região D no plano xy , chegou-se à seguinte expressão:
V=integral0^1 integral0^y(x^2+y^2) d x d y+integral1^2 integral0^2-y(x^2+y^2) d x d y
(a) Esboce a região D e expresse V como uma única integral iterada com ordem de integração contrária.
(b) Efetue a integração para calcular V.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido abaixo do paraboloide z=x^2+y^2 e limitado pela região D no plano xy, cuja projeção dá origem à soma de duas integrais em y primeiro. Vamos esboçar D, inverter a ordem de integração para ter x como variável externa e depois calcular o valor de V.

Passo 2

A projeção D vem de
0<= y<=1, 0<= x<= y e 1<= y<=2, 0<= x<=2-y
No plano xy, isso é o triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (0,2), limitado pelas retas x=0, x=y (para y<=1) e x+y=2 (para y>=1). Se quisermos integrar em x primeiro, vemos que x varia de 0 até o ponto mais à direita que ocorre em (1,1), isto é, 0<= x<=1. Para cada x fixo, y vai da reta inferior y=x até a superior y=2-x.

Passo 3

Com isso, a única integral iterada com ordem invertida fica
V=integralx=0^1!integraly=x^2-xl(x^2+y^2r),dy,dx

Passo 4

Vamos calcular
integraly=x^2-xl(x^2+y^2r)dy = x^2l[(2-x)-xr] +(2-x)^3-x^33 = 83-4x+4x^2-83x^3
Agora
V =integral0^1l(83-4x+4x^2-tfrac83x^3r)dx =l[tfrac83x-2x^2+tfrac43x^3-tfrac23x^4r]0^1 =43

Resposta

(a) V=integral0^1integralx^2-xl(x^2+y^2r),dy,dx
(b) V=43

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