Ao calcular, por integração dupla, o volume
do sólido situado abaixo do paraboloide
e limitado inferiormente por uma certa região D no plano xy , chegou-se à seguinte expressão:
(a) Esboce a região
e expresse
como uma única integral iterada com ordem de integração contrária.
(b) Efetue a integração para calcular
.
(b) Efetue a integração para calcular
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido abaixo do paraboloide
e limitado pela região
no plano
, cuja projeção dá origem à soma de duas integrais em
primeiro. Vamos esboçar
, inverter a ordem de integração para ter
como variável externa e depois calcular o valor de
.
Passo 2
A projeção
vem de
No plano
, isso é o triângulo com vértices
,
e
, limitado pelas retas
,
(para
) e
(para
). Se quisermos integrar em
primeiro, vemos que
varia de
até o ponto mais à direita que ocorre em
, isto é,
. Para cada
fixo,
vai da reta inferior
até a superior
.
Passo 3
Com isso, a única integral iterada com ordem invertida fica
Passo 4
Vamos calcular
Agora
Resposta
(a)
(b)