Passe para coordenadas polares e calcule.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e então calcular o resultado. A integral que você enviou é:
Aqui, estamos lidando com integração dupla, o que significa que vamos integrar uma função sobre uma região no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região de integração. Olhando para os limites de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a .
Isso sugere que estamos lidando com uma região simétrica em torno de
, provavelmente relacionada a um círculo.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
-
-
- O elemento de área
se transforma em .
Então, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Observando os limites originais:
-
varia de 0 a 1, o que em polares significa varia de 0 a 1. -
varia de a .
Analisando a expressão para
, percebemos que isso descreve uma circunferência de raio 1 centrada em
. Portanto, a região de integração é a parte dessa circunferência que está acima do eixo
.
Passo 5
Vamos parametrizar os limites em polares. A circunferência
pode ser escrita em coordenadas polares como:
Simplificando:
Isso nos dá
ou
. Portanto, para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de
. Como estamos lidando com uma circunferência acima do eixo
,
varia de
a
.
Passo 7
Então, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral e simplificamos:
Passo 10
Para resolver essa integral, usamos a substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
.
No entanto, a integral de
de 0 a 0 é zero. Isso sugere que precisamos revisar nossos limites ou a parametrização. Observando novamente, percebemos que
varia de 0 a
, mas para que
seja positivo,
deve ser não negativo, o que está correto.
No entanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Isso implica que o resultado da integral será zero.
Resposta
Portanto, o valor da integral é: