Inverta a ordem de integração.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla, que está integrada primeiro em relação a
de
até
, e depois em relação a
de
a
. O que precisamos fazer aqui é inverter a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender como alterar os limites de integração e identificar a região de integração no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
. Para inverter a ordem, queremos expressar
em função de
e determinar os novos limites para
e
.
Passo 3
Vamos identificar as funções que definem os limites de
:
Queremos expressar
em função de
. Vamos começar com a segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Então:
Agora, resolvendo a primeira equação para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando por 3:
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os novos limites para
e
. Observando os limites originais de
de
a
, e considerando as soluções para
em termos de
, vamos encontrar os valores de
onde as duas curvas se intersectam.
Igualando as duas expressões para
:
Para simplificar, vamos resolver numericamente ou gráfico as interseções, mas para fins de integração, vamos considerar que os limites de
variam de um valor mínimo a um valor máximo obtidos a partir dos limites de
.
Passo 5
Após determinar a região de integração, podemos expressar a integral com a ordem de integração invertida:
Onde
e
, e os limites de
são determinados pela interseção das curvas.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida fica: