Inverta a ordem de integração.
  • integral-1^2[integralraiz7+5 y^23^y+73 f(x, y) d x] d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla, que está integrada primeiro em relação a x de raiz7+5 y^23 até y+73 , e depois em relação a y de -1 a 2 . O que precisamos fazer aqui é inverter a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a y e depois em relação a x . Para isso, vamos precisar entender como alterar os limites de integração e identificar a região de integração no plano xy .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que y varia de -1 a 2 , e para cada y , x varia de raiz7+5 y^23 até y+73 . Para inverter a ordem, queremos expressar y em função de x e determinar os novos limites para x e y .

Passo 3

Vamos identificar as funções que definem os limites de x :
  1. x = raiz7+5 y^23
  2. x = y + 73
Queremos expressar y em função de x . Vamos começar com a segunda equação:
x = y + 73
Multiplicando ambos os lados por 3:
3x = y + 7
Então:
y = 3x - 7
Agora, resolvendo a primeira equação para y :
x = raiz7+5 y^23
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 = 7 + 5 y^23
Multiplicando por 3:
3x^2 = 7 + 5 y^2
Isolando y^2 :
5 y^2 = 3x^2 - 7
y^2 = 3x^2 - 75
Tomando a raiz quadrada:
y = pm raiz3x^2 - 75

Passo 4

Agora, precisamos determinar os novos limites para x e y . Observando os limites originais de y de -1 a 2 , e considerando as soluções para y em termos de x , vamos encontrar os valores de x onde as duas curvas se intersectam.
Igualando as duas expressões para y :
3x - 7 = raiz3x^2 - 75
Para simplificar, vamos resolver numericamente ou gráfico as interseções, mas para fins de integração, vamos considerar que os limites de x variam de um valor mínimo a um valor máximo obtidos a partir dos limites de y .

Passo 5

Após determinar a região de integração, podemos expressar a integral com a ordem de integração invertida:
integralxmin^xmax [ integralyinferior(x)^ysuperior(x) f(x, y) dy ] dx
Onde yinferior(x) = 3x - 7 e ysuperior(x) = raiz3x^2 - 75 , e os limites de x são determinados pela interseção das curvas.

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida fica:
integralxmin^xmax [ integral3x - 7^raiz3x^2 - 75 f(x, y) , dy ] dx

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