Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para regiões simples e, em seguida, cálculo de integrais por substituição.
Passo 2
Primeiro descrevemos a região de integração
no plano
:
Para trocar a ordem, notamos que
varia de
até
e, para cada
,
vai de
até
. Logo
Passo 3
Trocando a ordem de integração, a integral vira
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Fazendo
,
, quando
temos
e quando
temos
. Assim
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Agora a integral total é
A primeira parte dá
Na segunda parte, use
,
, de
a
:
Logo o valor da integral é