Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^2 integralx^2 2 y^2 sen(x y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^2integralx^22,y^2,sin(xy),dy,dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para regiões simples e, em seguida, cálculo de integrais por substituição.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região de integração R no plano xy:
R = (x,y)mid 0<= x<=2,;x<= y<=2
Para trocar a ordem, notamos que y varia de 0 até 2 e, para cada y, x vai de 0 até y. Logo
R = (x,y)mid 0<= y<=2,;0<= x<= y

Passo 3

Trocando a ordem de integração, a integral vira
integraly=0^2integralx=0^y2,y^2,sin(xy),dx,dy

Passo 4

Calculemos a integral interna em x:
integral0^ysin(xy),dx
Fazendo t=xy, dt=y,dx, quando x=0 temos t=0 e quando x=y temos t=y^2. Assim
integral0^ysin(xy),dx =integral0^y^2sin ty,dt =1yl[-cos tr]0^y^2 =1-cos(y^2)y
Multiplicando por 2y^2 obtemos
integral0^y2,y^2,sin(xy),dx =2,y^2cdot1-cos(y^2)y =2,y,(1-cos(y^2))

Passo 5

Agora a integral total é
integral0^22,y,(1-cos(y^2)),dy =integral0^22y,dy;-;integral0^22ycos(y^2),dy
A primeira parte dá
integral0^22y,dy=[y^2]0^2=4
Na segunda parte, use u=y^2, du=2y,dy, de u=0 a u=4:
integral0^22ycos(y^2),dy =integral0^4cos u,du =[sin u]0^4 =sin(4)
Logo o valor da integral é
4-sin(4)

Resposta

4 - sin(4)

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