Passe para coordenadas polares e calcule.
integral0^1 integral0^raiz1-y^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

A integral
integral0^1integral0^raiz1-y^2(x^2+y^2),dx,dy
está definida sobre a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=1. Vamos usar coordenadas polares, pois a região é um setor circular e a forma x^2+y^2 se transforma em algo simples.

Passo 2

Em coordenadas polares tomamos
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o Jacobiano é
dx,dy = r,dr,dtheta
Além disso,
x^2+y^2=r^2

Passo 3

A região em (r, theta) é dada por
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= pi2
Portanto a integral vira
integraltheta=0^pi/2integralr=0^1r^2,(r,dr,dtheta) =integral0^pi/2integral0^1r^3,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^1r^3,dr =[r^44]0^1 =14
Agora em theta:
integral0^pi/214,dtheta =14,l[thetar]0^pi/2 =14cdotpi2 =pi8

Resposta

pi8

Exercícios relacionados