Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o seguinte integral:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais usando o método dos resíduos, que faz parte da análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como funções complexas, polos, resíduos e o teorema dos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para integrar funções racionais sobre toda a linha real, podemos estender a função para o plano complexo e escolher um contorno adequado. Normalmente, usamos um contorno semicircular no semiplano superior e consideramos o limite quando o raio desse semicirculo tende ao infinito.
Passo 3
Nossa função é:
Vamos identificar os polos dessa função, ou seja, os pontos onde o denominador é zero. Resolvendo
, temos:
São polos de ordem 3, já que o denominador está elevado ao cubo.
Passo 4
Como vamos usar o contorno semicircular no semiplano superior, só precisamos considerar os polos que estão nesse semiplano. Dos dois polos,
está no semiplano superior, enquanto
está no inferior. Portanto, vamos calcular o resíduo de
em
.
Passo 5
Para calcular o resíduo em
, que é um polo de ordem 3, usamos a fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, derivamos duas vezes essa expressão em relação a
e depois calculamos o limite quando
.
Passo 6
Vamos derivar a função
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Essa derivação pode ser um pouco trabalhosa, mas após simplificar e substituir
, obtemos o resíduo.
Passo 7
Após calcular a segunda derivada e substituir
, encontramos:
Passo 8
Aplicando o teorema dos resíduos, sabemos que:
Substituindo o resíduo encontrado:
Resposta
O valor do integral é
.