Calcular integrais:
integral x^2 raizx^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 raizx^3+1 , dx. Esse tipo de integral envolve técnicas de substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar usar a substituição u = x^3 + 1 para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição u = x^3 + 1. Essa escolha simplifica a expressão dentro da raiz e facilita a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx:
du = 3x^2 dx
Isso nos ajuda a expressar x^2 dx em termos de du.

Passo 4

Isolando x^2 dx na equação acima:
x^2 dx = du3
Assim, podemos substituir x^2 dx na integral original por du3.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral x^2 raizx^3+1 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 du
Aqui, raizu foi reescrito como u^1/2 para facilitar a integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2 em relação a u:
integral u^1/2 du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C
Multiplicando pelo coeficiente 13:
13 cdot 23 u^3/2 = 29 u^3/2 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta por x^3 + 1:
29 (x^3 + 1)^3/2 + C

Resposta

A integral integral x^2 raizx^3+1 , dx é igual a:
29 (x^3 + 1)^3/2 + C

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