Calcular integrais:
integral0^pi / 4 d x3 sen x+cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^pi / 4 dx3 sin x + cos x. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituições que facilitam o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 3 sin x + cos x. Observamos que temos uma combinação linear de seno e cosseno, que pode ser reescrita usando uma única função trigonométrica. Para isso, usamos a identidade:
a sin x + b cos x = raiza^2 + b^2 sin(x + alpha)
onde alpha é um ângulo tal que:
cos alpha = araiza^2 + b^2 e sin alpha = braiza^2 + b^2
No nosso caso, a = 3 e b = 1.

Passo 3

Vamos calcular raiza^2 + b^2:
raiz3^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10
Então, podemos reescrever o denominador:
3 sin x + cos x = raiz10 sin(x + alpha)
onde cos alpha = 3raiz10 e sin alpha = 1raiz10.

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral dx3 sin x + cos x = integral dxraiz10 sin(x + alpha) = 1raiz10 integral dxsin(x + alpha)

Passo 5

Sabemos que:
integral dxsin(x + alpha) = ln | tan(x + alpha2) | + C
Portanto,
1raiz10 integral dxsin(x + alpha) = 1raiz10 ln | tan(x + alpha2) | + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi4:
1raiz10 ln | tan(x + alpha2) | |0^pi4 = 1raiz10 [ ln ( tan(pi4 + alpha2) ) - ln ( tan(0 + alpha2) ) ]

Passo 7

Simplificando, temos:
1raiz10 ln ( tan(pi4 + alpha2)tan(alpha2) )
Substituímos alpha pelos valores calculados anteriormente:
alpha = arctan(13)

Passo 8

Finalmente, calculando os valores numéricos:
Valor Final approx 1raiz10 ln ( tan(pi4 + arctan(13)2)tan(arctan(13)2) )

Resposta

A integral integral0^pi / 4 dx3 sin x + cos x é igual a aproximadamente 1raiz10 ln ( tan(pi4 + arctan(13)2)tan(arctan(13)2) ) .

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