Use a Regra da Cadeia para determinar d zd t ou d wd t.
z=e^1-x y, x=raiz[3]t, y=t^3.

Passo 1

Temos a função composta
z = e^,1 - x y
onde x e y dependem de t por
x = raiz[3]t = t^1/3, y = t^3
O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas de x e y em relação a t.
dxdt = ddtl(t^1/3r) = 13,t^-2/3,
dydt = ddtl(t^3r) = 3,t^2

Passo 3

Agora, tratamos z como função de x e y. Definindo
u = 1 - x y,
temos z = e^u. Portanto
partial zpartial x = e^u;partial upartial x = e^,1 - x y,(-y) = -y,e^,1 - x y,
partial zpartial y = e^u;partial upartial y = e^,1 - x y,(-x) = -x,e^,1 - x y

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
dzdt = l(-y,e^,1 - x yr),13t^-2/3 + l(-x,e^,1 - x yr),(3,t^2)
Fatorando e^,1 - x y e substituindo x = t^1/3, y = t^3:
dzdt = -e^,1 - t^1/3,t^3l(ycdottfrac13t^-2/3 + xcdot 3t^2r) = -e^,1 - t^10/3l(tfrac13t^3t^-2/3 + 3,t^1/3t^2r)
Note que
tfrac13t^3-2/3 = tfrac13t^7/3, 3,t^1/3+2 = 3,t^7/3,
logo dentro do parêntese fica
tfrac13t^7/3 + 3,t^7/3 = 103,t^7/3
Assim
dzdt = -103,t^7/3,e^,1 - t^10/3

Resposta

dzdt = -103,t^7/3,e^,1 - t^10/3

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