Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty x^2 d x(x^2+1)(x^2+4).

Passo 1

Vamos resolver a integral
integral-infty^infty x^2 , dx(x^2+1)(x^2+4)
utilizando o método dos resíduos. Vamos precisar entender os conceitos de integrais no plano complexo e como calcular resíduos de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função complexa correspondente à nossa integral:
f(z) = z^2(z^2+1)(z^2+4)
Essa função tem singularidades (pontos onde ela não está definida) nos valores de z que satisfazem z^2 + 1 = 0 e z^2 + 4 = 0 , ou seja, nos pontos z = i , z = -i , z = 2i e z = -2i .

Passo 3

Como queremos integrar ao longo do eixo real, vamos usar o teorema dos resíduos, que nos diz que a integral ao longo de uma curva fechada no plano complexo é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro dessa curva. Geralmente, escolhemos uma curva que envolve apenas as singularidades no semiplano superior.

Passo 4

Identificamos as singularidades no semiplano superior:
  • z = i
  • z = 2i
Esses são os pontos onde calcularemos os resíduos.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em z = i . Para uma singularidade simples, o resíduo é dado por:
Res(f, i) = limz to i (z - i)f(z) = limz to i z^2(z+i)(z^2+4)
Substituindo z = i :
Res(f, i) = (i)^2(i + i)((i)^2+4) = -12i(-1 + 4) = -16i = i6

Passo 6

Agora, calculamos o resíduo em z = 2i :
Res(f, 2i) = limz to 2i (z - 2i)f(z) = limz to 2i z^2(z + 2i)(z^2+1)
Substituindo z = 2i :
Res(f, 2i) = (2i)^2(2i + 2i)((2i)^2+1) = -44i(-4 +1) = -4-12i = 13i = -i3

Passo 7

Somamos os resíduos encontrados:
Res(f, i) + Res(f, 2i) = i6 - i3 = -i6

Passo 8

Aplicando o teorema dos resíduos, a integral original é:
integral-infty^infty x^2 , dx(x^2+1)(x^2+4) = 2pi i (-i6) = 2pi cdot 16 = pi3

Resposta

A integral vale pi3.

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