Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Vamos resolver a integral
utilizando o método dos resíduos. Vamos precisar entender os conceitos de integrais no plano complexo e como calcular resíduos de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função complexa correspondente à nossa integral:
Essa função tem singularidades (pontos onde ela não está definida) nos valores de
que satisfazem
e
, ou seja, nos pontos
,
,
e
.
Passo 3
Como queremos integrar ao longo do eixo real, vamos usar o teorema dos resíduos, que nos diz que a integral ao longo de uma curva fechada no plano complexo é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro dessa curva. Geralmente, escolhemos uma curva que envolve apenas as singularidades no semiplano superior.
Passo 4
Identificamos as singularidades no semiplano superior:
Esses são os pontos onde calcularemos os resíduos.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo em
. Para uma singularidade simples, o resíduo é dado por:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, calculamos o resíduo em
:
Substituindo
:
Passo 7
Somamos os resíduos encontrados:
Passo 8
Aplicando o teorema dos resíduos, a integral original é:
Resposta
A integral vale
.