Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
A gente quer calcular
usando o método de resíduos, que faz parte de integrais impróprias de funções racionais no plano complexo. Vamos precisar completar o quadrado, achar os polos da função
, usar o teorema dos resíduos e a Lema de Jordan para um semicírculo no semiplano superior.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos o denominador completando o quadrado:
Passo 3
Isso já nos ajuda a ver onde a função se anula. Resolver
dá as raízes (polos)
portanto
Passo 4
Desses dois polos,
está no semiplano superior (parte imaginária positiva) e
fica no inferior. Para aplicar o contorno, só interessa o polo
.
Como , a fórmula para o resíduo em
é
Como
Passo 5
Agora desenhamos um contorno que é a reta real de
a
mais o semicírculo
de raio
no semiplano superior. Pelo teorema dos resíduos:
Passo 6
Pela Lema de Jordan, quando
o integral sobre
tende a zero (porque
no semicírculo). Logo