Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty d xx^2+2 x+2.

Passo 1

A gente quer calcular integral-infty^infty dxx^2+2x+2 usando o método de resíduos, que faz parte de integrais impróprias de funções racionais no plano complexo. Vamos precisar completar o quadrado, achar os polos da função f(z)=1z^2+2z+2, usar o teorema dos resíduos e a Lema de Jordan para um semicírculo no semiplano superior.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o denominador completando o quadrado:
x^2+2x+2 = (x+1)^2+1

Passo 3

Isso já nos ajuda a ver onde a função se anula. Resolver (z+1)^2+1=0 dá as raízes (polos)
z+1 = pm i
portanto
z1 = -1 + i, z2 = -1 - i

Passo 4

Desses dois polos, z1=-1+i está no semiplano superior (parte imaginária positiva) e z2 fica no inferior. Para aplicar o contorno, só interessa o polo z1.
Como f(z)=1(z-z1)(z-z2), a fórmula para o resíduo em z1 é
Res(f,z1) = 1z1-z2 = 1(-1+i)-(-1-i) = 12i

Passo 5

Agora desenhamos um contorno que é a reta real de -R a R mais o semicírculo CR de raio R no semiplano superior. Pelo teorema dos resíduos:
ointreta+CR f(z),dz = 2pi i sum(resíduos no interior) = 2pi i cdot 12i í

Passo 6

Pela Lema de Jordan, quando Rtoinfty o integral sobre CR tende a zero (porque f(z)=O(1/R^2) no semicírculo). Logo
integral-infty^infty dxx^2+2x+2 = 2pi i cdot 12i = pi

Resposta

pi

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