Calcular as integrais:
integral 5 x^2raiz[5]1-x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 5x^2raiz[5]1 - x^3,dx
Esta é uma integral que se resolve bem por substituição de variável, pois vemos x^2dx e a expressão 1 - x^3 no radicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - x^3
Então
du = -3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = -tfrac13,du

Passo 3

Em função de u, o integrando fica
5x^2raiz[5]1 - x^3,dx =5,x^2,dxu^1/5 =5l(-tfrac13r),u^-1/5,du =-tfrac53,integral u^-1/5,du

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
integral u^-1/5,du =u^(-1/5)+1(-1/5)+1 =u^4/54/5 =tfrac54,u^4/5
Multiplicando pelo fator -tfrac53 resulta
-tfrac53timestfrac54,u^4/5 =-tfrac2512,u^4/5

Passo 5

Voltando à variável x (lembre que u=1 - x^3), a primitiva fica
-tfrac2512,(1 - x^3)^4/5 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral 5x^2raiz[5]1 - x^3,dx =-2512,(1 - x^3)^4/5+C

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