Use o Teste da Razão para determinar se cada série converge absolutamente ou diverge.
sumn=1^infty n^4(-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teste da Razão para verificar se a série sumn=1^infty n^4(-4)^n converge absolutamente ou diverge. Para isso, precisamos entender como aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para analisar séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar o comportamento de uma série da forma sum an observando o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an da nossa série:
an = n^4(-4)^n
Note que (-4)^n pode ser reescrito como (-1)^n cdot 4^n, mas como vamos trabalhar com o módulo no teste, o sinal negativo não afetará o resultado final.

Passo 4

Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = (n+1)^4(-4)^n+1 = (n+1)^4(-4) cdot (-4)^n = (n+1)^4(-4) cdot (-4)^n = (n+1)^4(-1) cdot 4^n+1
Mas, para simplificar no cálculo do limite, vamos focar no módulo:
|an+1| = (n+1)^44^n+1

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)^44^n+1n^44^n = limn to infty (n+1)^44^n+1 cdot 4^nn^4 = limn to infty (n+1)^44 cdot n^4
Simplificando:
L = 14 cdot limn to infty ( n+1n )^4 = 14 cdot limn to infty (1 + 1n)^4

Passo 6

Observamos que limn to infty (1 + 1n)^4 = 1, porque quando n cresce, 1n tende a zero. Então temos:
L = 14 cdot 1 = 14

Passo 7

Agora, comparamos L com 1:
14 < 1
Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty n^4(-4)^n converge absolutamente pelo Teste da Razão.

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