Use o Teste da Razão para determinar se cada série converge absolutamente ou diverge.
sumn=1^infty 2^nn!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por sumn=1^infty 2^nn! e precisamos usar o Teste da Razão para determinar se essa série converge absolutamente ou diverge. O Teste da Razão é útil para séries onde os termos envolvem fatoriais ou exponenciais.

Passo 2

O Teste da Razão funciona assim: para a série sum an, calculamos o limite L = limn to infty | an+1an |. Dependendo do valor de L, podemos concluir o seguinte:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não conclui nada e precisamos usar outro método.

Passo 3

Vamos identificar os termos da nossa série:
  • an = 2^nn!
  • an+1 = 2^n+1(n+1)!

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = 2^n+1(n+1)!2^nn! = 2^n+1 cdot n!2^n cdot (n+1)! = 2 cdot 2^n cdot n!2^n cdot (n+1) cdot n! = 2n+1

Passo 5

Vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 2n+1 = 0

Passo 6

Como L = 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^nn! converge absolutamente.

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