Calcular as integrais:
integral-40 x^2(3-x)^7 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva
integral -40,x^2,(3-x)^7,dx
O conteúdo envolvido é integração por substituição (cadeia inversa) seguida de integração de polinômios resultantes.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 3 - x Longrightarrow du = -,dx,
e obtemos
x = 3 - u, x^2 = (3 - u)^2, dx = -,du
Substituindo na integral original,
integral -40,x^2,(3-x)^7,dx = integral -40,(3-u)^2,u^7,(-,du) = integral 40,(3-u)^2,u^7,du

Passo 3

Expandimos o fator (3-u)^2,u^7:
(3-u)^2,u^7 = l(9 -6u +u^2r),u^7 = 9u^7 -6u^8 +u^9
Multiplicando por 40, o integrando fica
40l(9u^7 -6u^8 +u^9r) =360,u^7 -240,u^8 +40,u^9

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 360,u^7,du = 45,u^8, integral -240,u^8,du = -2409,u^9 = -803,u^9, integral 40,u^9,du = 4,u^10
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
45,u^8 - 803,u^9 +4,u^10 + C

Passo 5

Voltando à variável x via u=3-x, a primitiva é
45,(3-x)^8 - 803,(3-x)^9 +4,(3-x)^10 + C

Resposta

boxed45,(3-x)^8 - 803,(3-x)^9 +4,(3-x)^10 + C

Exercícios relacionados