Calcular as integrais:
integral(9 x^2+54 x-80) e^-3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral l(9x^2+54x-80r)e^-3x,dx
O conteúdo aqui é integração de um polinômio vezes uma exponencial. Em vez de fazer várias integrações por partes, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: supor que a primitiva é da forma
F(x)=e^-3xl(Ax^2+Bx+Cr),
e ajustar A, B e C para que F'(x) seja o integrando.

Passo 2

Derivamos F(x) usando a regra do produto e a derivada de e^-3x. Se
p(x)=Ax^2+Bx+C,
então
p'(x)=2Ax+B
e
F'(x) =ddxl[e^-3xp(x)r] =e^-3xl(p'(x)r)+l(e^-3xr)',p(x) =e^-3xl(p'(x)-3p(x)r)

Passo 3

Substituindo p(x) e p'(x) em F'(x), obtemos
F'(x) =e^-3xl((2Ax+B)-3(Ax^2+Bx+C)r) =e^-3xl(-3A,x^2+(2A-3B),x+(B-3C)r)
Queremos isso igual a l(9x^2+54x-80r)e^-3x.

Passo 4

Comparando coeficientes dentro do colchete:
-3A = 9, 2A - 3B = 54, B - 3C = -80
Resolvendo:
A = -3, 2(-3)-3B=54implies -6-3B=54implies B=-20, -20-3C=-80implies C=20

Passo 5

Portanto uma primitiva é
F(x) =e^-3xl(-3x^2-20x+20r)

Resposta

integrall(9x^2+54x-80r)e^-3x,dx =e^-3xl(-3x^2-20x+20r)+K,
sendo K a constante de integração.

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