Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=32-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma representação em série de potências para a função f(x) = 32 - x e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e transformação de funções para conseguir uma expressão que a gente consiga trabalhar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma rearranjada na função para deixá-la parecida com a forma da série geométrica, que é 11 - r , onde r é uma razão que depende de x . Então, podemos escrever:
f(x) = 32 - x = 32 (1 - x2) = 32 cdot 11 - x2
Aqui, separamos o 2 do denominador para facilitar a identificação de r .

Passo 3

Agora, reconhecemos que 11 - x2 é a forma da série geométrica. Sabemos que a série geométrica 11 - r pode ser expandida como:
11 - r = sumn=0^infty r^n
No nosso caso, r = x2 . Então, substituindo na série, temos:
11 - x2 = sumn=0^infty (x2)^n
Multiplicando isso pela constante que tiramos antes, 32 , fica:
f(x) = 32 cdot sumn=0^infty (x2)^n

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando a razão |r| < 1 . No nosso caso, r = x2 , então:
| x2 | < 1 implies |x| < 2
Isso significa que a série que encontramos vale para todos os valores de x que estão entre -2 e 2.

Resposta

A representação em série de potências para f(x) = 32 - x é:
f(x) = 32 sumn=0^infty ( x2 )^n
E o intervalo de convergência dessa série é:
|x| < 2

Exercícios relacionados