Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e transformação de funções para conseguir uma expressão que a gente consiga trabalhar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma rearranjada na função para deixá-la parecida com a forma da série geométrica, que é , onde é uma razão que depende de . Então, podemos escrever:
Aqui, separamos o 2 do denominador para facilitar a identificação de .
Passo 3
Agora, reconhecemos que é a forma da série geométrica. Sabemos que a série geométrica pode ser expandida como:
No nosso caso, . Então, substituindo na série, temos:
Multiplicando isso pela constante que tiramos antes, , fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando a razão . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série que encontramos vale para todos os valores de x que estão entre -2 e 2.
Resposta
A representação em série de potências para f(x) = 32 - x é: