Calcular as integrais:
integral 3 t^2-4 t+33(t+1)(t^2-4 t+3) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3t^2 - 4t + 33(t+1)(t^2 - 4t + 3) , dt.
Trata-se de uma função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que
t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3)
Logo o denominador original fica (t+1)(t-1)(t-3).

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
3t^2 - 4t + 33(t+1)(t-1)(t-3) = At+1 + Bt-1 + Ct-3
Multiplicando ambos os lados por (t+1)(t-1)(t-3) obtemos
3t^2 - 4t + 33 = A,(t-1)(t-3) + B,(t+1)(t-3) + C,(t+1)(t-1)

Passo 4

Para determinar A, B e C, escolhemos valores convenientes de t.
Para t=-1:
3(-1)^2 -4(-1) + 33 = 40,
A,(-1 - 1)(-1 - 3) = 8A,
logo 8A = 40 e A = 5.
Para t=1:
3cdot1^2 -4cdot1 +33 = 32,
B,(1 + 1)(1 - 3) = -4B,
logo -4B = 32 e B = -8.
Para t=3:
3cdot3^2 -4cdot3 +33 = 48,
C,(3 + 1)(3 - 1) = 8C,
logo 8C = 48 e C = 6.

Passo 5

Agora escrevemos a integral em termos das frações simples e integramos termo a termo:
integral 3t^2 - 4t + 33(t+1)(t-1)(t-3) , dt = integral l(5t+1 - 8t-1 + 6t-3r),dt
Integramos cada pedaço:
integral 5t+1,dt = 5lnlvert t+1rvert, integral -8t-1,dt = -8lnlvert t-1rvert, integral 6t-3,dt = 6lnlvert t-3rvert

Resposta

5lnlvert t+1rvert ;-; 8lnlvert t-1rvert ;+; 6lnlvert t-3rvert ;+; C

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