Calcular as integrais:
integral 7 x+4(x^2+2 x+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 7x+4(x^2+2x+1)(x-1)^2,dx. Estamos diante de uma integral de função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o denominador como (x+1)^2(x-1)^2 e montamos a forma geral da decomposição:
7x+4(x+1)^2(x-1)^2=Ax+1+B(x+1)^2+Cx-1+D(x-1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^2(x-1)^2) obtemos a identidade
7x+4=A(x+1)(x-1)^2+B(x-1)^2+C(x+1)^2(x-1)+D(x+1)^2
Expandindo e igualando coeficientes de x^3,x^2,x^1 e termo independente, obtemos o sistema:
A+C=0, -A+B+C+D=0, -A-2B-C+2D=7, A+B-C+D=4
Resolvendo, achamos A=1, B=-3/4, C=-1 e D=11/4.

Passo 3

Substituindo esses valores na decomposição, a integral vira
integral7x+4(x+1)^2(x-1)^2,dx =integrall(1x+1-3/4(x+1)^2-1x-1+11/4(x-1)^2r)dx
Agora integramos termo a termo usando
integraldxx+a=ln|x+a|+C, integral(x+a)^-2dx=-(x+a)^-1+C

Passo 4

Fazendo as integrais:
integral1x+1dx=ln|x+1|, integral-3/4(x+1)^2dx=-34l(-1x+1r)=34(x+1),
integral-1x-1dx=-ln|x-1|, integral11/4(x-1)^2dx=114l(-1x-1r)=-114(x-1)

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva é
ln|x+1|-ln|x-1|+34(x+1)-114(x-1)+C
Podemos deixar o termo 34(x+1) como 1x+1 somado a constantes se desejarmos, mas esta forma já está correta.

Resposta

ln|x+1|-ln|x-1|+34(x+1)-114(x-1)+C

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