Calcular as integrais:
integral 10 x-32x^2-8 x+32 d x

Passo 1

O enunciado pede
integral 10x-32x^2-8x+32,dx
Temos uma função racional cujo numerador tem grau menor que o denominador. Vamos usar a técnica de decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e completar o quadrado no denominador para restar um termo integrável por arco-tangente.

Passo 2

Denotemos o denominador por
D(x)=x^2-8x+32,
cuja derivada é
dDdx=2x-8
Procuramos constantes A e B tais que
10x-32 = A,(2x-8) + B
Igualando coeficientes, vem
2A=10 Rightarrow A=5, -8A+B=-32 Rightarrow B=8

Passo 3

Reescrevendo o integrando:
10x-32D(x) = 5,2x-8D(x) ;+;8,1D(x)
Logo
integral 10x-32D(x),dx =5integral 2x-8D(x),dx ;+;8integral dxD(x)

Passo 4

No primeiro integral, como dDdx=2x-8, temos
integral 2x-8D(x),dx = lnl|D(x)r| + C1 = lnl(x^2-8x+32r)+C1
Multiplicando por 5, obtemos
5lnl(x^2-8x+32r)

Passo 5

No segundo integral, completamos o quadrado:
D(x)=(x-4)^2+16
Fazendo u=x-4, du=dx, resulta
integral dx(x-4)^2+16 = integral duu^2+4^2 = 14arctan!l(u4r)+C2 = 14arctan!l(x-44r)+C2
Multiplicando por 8, dá
2arctan!l(x-44r)

Passo 6

Somando as partes e absorvendo as constantes C1,C2 em uma só C, concluímos:
integral 10x-32x^2-8x+32,dx =5lnl(x^2-8x+32r) ;+; 2arctan!l(x-44r) ;+; C

Resposta

5lnl(x^2-8x+32r);+;2arctan!l(x-44r);+;C

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