Temos uma função racional cujo numerador tem grau menor que o denominador. Vamos usar a técnica de decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e completar o quadrado no denominador para restar um termo integrável por arco-tangente.
Passo 2
Denotemos o denominador por
cuja derivada é
Procuramos constantes e tais que
Igualando coeficientes, vem
Passo 3
Reescrevendo o integrando:
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Passo 4
No primeiro integral, como , temos
Multiplicando por 5, obtemos
5lnl(x^2-8x+32r)
Passo 5
No segundo integral, completamos o quadrado:
D(x)=(x-4)^2+16
Fazendo u=x-4, du=dx, resulta
integral dx(x-4)^2+16 = integral duu^2+4^2 = 14arctan!l(u4r)+C2 = 14arctan!l(x-44r)+C2
Multiplicando por 8, dá
2arctan!l(x-44r)
Passo 6
Somando as partes e absorvendo as constantes C1,C2 em uma só C, concluímos:
integral 10x-32x^2-8x+32,dx =5lnl(x^2-8x+32r) ;+; 2arctan!l(x-44r) ;+; C