Calcular as integrais:
integral -2 x^2+72 x+44(x^2+2 x+10)(2 x-4) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral -2x^2+72x+44l(x^2+2x+10r),(2x-4) ,dx
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais para funções racionais, seguido de integrais básicas de tipo integral1/(x-a),dx, integral u/(u^2+a^2),du e integral1/(u^2+a^2),du.

Passo 2

Fazemos a decomposição
-2x^2+72x+44(x^2+2x+10)(2x-4) =A2x-4+Bx+Cx^2+2x+10
Multiplicando em ambos os lados por (x^2+2x+10)(2x-4) obtemos
-2x^2+72x+44 = A,(x^2+2x+10)+(Bx+C),(2x-4)
Expandindo o segundo termo:
(Bx+C)(2x-4)=2B x^2+(2C-4B)x-4C.
Logo, comparando coeficientes em x^2, x e termo independente, vem o sistema
A+2B=-2, 2A+2C-4B=72, 10A-4C=44

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação B=-1-tfrac A2.
Substituindo na segunda:
2A+2C-4l(-1-tfrac A2r)=72 ;Longrightarrow; 2A+2C+4+2A=72 ;Longrightarrow; 2A+C=34 ;Longrightarrow; C=34-2A
Na terceira:
10A-4(34-2A)=44 ;Longrightarrow; 10A-136+8A=44 ;Longrightarrow; 18A=180 ;Longrightarrow; A=10
Então B=-1-5=-6 e C=34-20=14.

Passo 4

A decomposição fica
-2x^2+72x+44(x^2+2x+10)(2x-4) =102x-4+-6x+14x^2+2x+10 =5x-2+-6x+14x^2+2x+10
Para a segunda fração, completamos o quadrado no denominador:
x^2+2x+10=(x+1)^2+9
Fazemos a troca de variável u=x+1, du=dx. O numerador -6x+14 vira -6(u-1)+14=-6u+20. Assim
integral-6x+14x^2+2x+10,dx =integral-6u+20u^2+9,du =integral-6uu^2+9,du +integral20u^2+9,du

Passo 5

Calculamos separadamente:
  1. integral-6uu^2+9,du=-3integral2uu^2+9,du=-3lnl(u^2+9r)
  2. integral20u^2+9,du =20cdot13arctanu3 =203arctan!l(tfracu3r)
    Para a parte 5x-2 temos
integral5x-2,dx=5lnl|x-2r|

Passo 6

Somando tudo e revertendo u=x+1, obtemos
5lnl|x-2r| -3lnl((x+1)^2+9r) +203arctan!l(x+13r) +C

Resposta

boxed 5lnl|x-2r| -3lnl(x^2+2x+10r) +203arctan!l(x+13r) +C

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