Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede a integral
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais para funções racionais, seguido de integrais básicas de tipo
,
e
.
Passo 2
Fazemos a decomposição
Multiplicando em ambos os lados por
obtemos
Expandindo o segundo termo:
.
Logo, comparando coeficientes em ,
e termo independente, vem o sistema
Logo, comparando coeficientes em
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da primeira equaçãoB=-1-tfrac A2 .
Substituindo na segunda:
Da primeira equação
Substituindo na segunda:
Na terceira:
Então
B=-1-5=-6 e
C=34-20=14 .
Passo 4
A decomposição fica
Para a segunda fração, completamos o quadrado no denominador:
Fazemos a troca de variável
u=x+1 ,
du=dx . O numerador
-6x+14 vira
-6(u-1)+14=-6u+20 . Assim
Passo 5
Calculamos separadamente:
-
integral-6uu^2+9,du=-3integral2uu^2+9,du=-3lnl(u^2+9r) -
integral20u^2+9,du =20cdot13arctanu3 =203arctan!l(tfracu3r)
Para a parte temos5x-2
Passo 6
Somando tudo e revertendo
u=x+1 , obtemos