O volume de água em um tanque é V metros cúbicos, quando a profundidade da água é h metros. Se a taxa de variação de V em relação a h for 13(2 h+3)^2, ache o volume de água no tanque quando a profundidade for de 3 metros.

Passo 1

O enunciado diz que a profundidade da água no tanque é h metros e o volume correspondente é V(h) m^3. Conhecemos a taxa de variação
dVdh = 13(2h+3)^2,
e precisamos achar V quando h=3. Para isso, vamos integrar dVdh em função de h e usar a condição física natural de que, com h=0, o volume é zero ( V(0)=0) para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos a taxa de variação para obter V(h).
V(h)=integral 13(2h+3)^2,dh
Fazendo a substituição u=2h+3 (logo du=2,dh, dh=tfracdu2), temos
V(h) =13integral u^2,du2 =16integral u^2,du =16cdotu^33+C =u^318+C
Voltando a h,
V(h)=(2h+3)^318+C

Passo 3

Usamos V(0)=0 para achar C.
V(0)=(2cdot0+3)^318+C =2718+C =32+Cstackrel!=0 Longrightarrow C=-32
Assim,
V(h)=(2h+3)^318-32

Passo 4

Agora calculamos V(3):
V(3) =(2cdot3+3)^318-32 =9^318-32 =72918-32 =40,5-1,5 =39

Resposta

O volume de água quando a profundidade é 3 metros é 39 m^3.

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