Um corpo que inicialmente está a 5 metros da origem, no sentido positivo do movimento, desloca-se com velocidade dada por v(t)=1raiz4 t+16, em metros por segundo. Determine a equação horária da posição do corpo.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo move-se em uma dimensão com velocidade
v(t) = 1raiz4,t + 16
e que sua posição inicial é x(0)=5 m. Queremos encontrar a função posição x(t). Para isso, vamos usar que
dxdt=v(t)

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial
dxdt = 1raiz4,t+16
e integramos ambos os lados de t=0 até t:
integral0^t dxdt,dt ;=;integral0^t 1raiz4,u+16,du
o que dá
x(t)-x(0)=integral0^t1raiz4,u+16,du

Passo 3

Para calcular
integral0^t1raiz4,u+16,du, fazemos a substituição
s = 4,u + 16, ds = 4,duRightarrow du = ds4
Quando u vai de 0 a t, s vai de 16 a 4t+16. Assim,
integral0^t1raiz4,u+16,du = integral16^4t+16 1raizs;ds4 = 14cdot 2l[raizsr]16^4t+16 = tfrac12l(raiz4t+16-4r)

Passo 4

Substituindo em x(t)-x(0) e usando x(0)=5, obtemos
x(t)-5 = tfrac12l(raiz4t+16-4r) Longrightarrow x(t)=5+tfrac12l(raiz4t+16-4r)
Para simplificar: raiz4t+16=2raizt+4, logo
x(t)=5+l(raizt+4-2r)=raizt+4+3

Resposta

x(t)=raizt+4+3(metros)

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