Calcular as integrais abaixo :
(01)
(02)
(03)
(04)
(05)
(06)
(07)
(08)
(01)
(02)
(03)
(04)
(05)
(06)
(07)
(08)
Passo 1
O enunciado pede calcular oito integrais de funções racionais do tipo
ou
. Para isso vamos usar três técnicas principais:
. Completar o quadrado no denominador para obter forma
e usar arctan.
. Decomposição em frações parciais para casos com raízes reais no denominador.
. Divisão de polinômios quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador.
Passo 2
Integramos
completando quadrado:
Fazendo
,
,
Passo 3
Integramos
completando quadrado:
Fazendo
,
Passo 4
Integramos
por frações parciais, pois
Escrevemos
onde
e
. Logo,
Passo 5
Integramos
(04)
integraldx2x^2-2x+1 completando quadrado:
então
Passo 6
Integramos
(05)
integral6x-73x^2-7x+11,dx . Note que
ddx(3x^2-7x+11)=6x-7 , logo
Passo 7
Integramos
(06)
integral7x+16x^2+x-1,dx por frações parciais. Fatorando
acha-se
Logo
Passo 8
Integramos
(07)
integral3x-25x^2-3x+2,dx escrevendo
once
10x-3=(5x^2-3x+2)' . Assim
Completando o quadrado em
5x^2-3x+2=5[(x-tfrac310)^2+(tfracraiz3110)^2] obt’e-se
Portanto
Passo 9
Integramos
(08)
integral6x^4-5x^3+4x^22x^2-x+1,dx por divis~ao de polin^omios:
Logo
e para
integralx2x^2-x+1dx escrevemos
obtendo
Somando tudo:
Resposta
(
01 )
12arctan!l(x+12r)+C
(02 )
1raiz11arctan!l(3x-1raiz11r)+C
(03 )
-14lnl|x-1r|+14lnl|x-5r|+C
(04 )
arctan!(2x-1)+C
(05 )
lnl|3x^2-7x+11r|+C
(06 )
23lnl|x-tfrac13r|+12lnl|x+tfrac12r|+C
(07 )
310lnl|5x^2-3x+2r|-115raiz31arctan!l(10x-3raiz31r)+C
(08 )
x^3-x^22+14lnl|2x^2-x+1r|+12raiz7arctan!l(4x-1raiz7r)+C
(
(
(
(
(
(
(