Calcular as integrais abaixo :
(01) integral d xx^2+2 x+5
(02) integral d x3 x^2-2 x+4
(03) integral d xx^2-6 x+5
(04) integral d x2 x^2-2 x+1
(05) integral (6 x-7) d x3 x^2-7 x+11
(06) integral (7 x+1) d x6 x^2+x-1
(07) integral (3 x-2) d x5 x^2-3 x+2
(08) integral (6 x^4-5 x^3+4 x^2) d x2 x^2-x+1

Passo 1

O enunciado pede calcular oito integrais de funções racionais do tipo integraldxax^2+bx+c ou integralN(x)D(x),dx. Para isso vamos usar três técnicas principais:
1. Completar o quadrado no denominador para obter forma integralduu^2+a^2 e usar arctan.
2. Decomposição em frações parciais para casos com raízes reais no denominador.
3. Divisão de polinômios quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador.

Passo 2

Integramos (01) integraldxx^2+2x+5 completando quadrado:
x^2+2x+5=(x+1)^2+2^2
Fazendo u=x+1, du=dx,
integraldx(x+1)^2+2^2 =integralduu^2+2^2 =12arctan!l(u2r)+C =12arctan!l(x+12r)+C

Passo 3

Integramos (02) integraldx3x^2-2x+4 completando quadrado:
3x^2-2x+4 =3l(x^2-tfrac23x+tfrac43r) =3l[(x-tfrac13)^2+l(tfracraiz113r)^2r]
Fazendo u=x-tfrac13,
integraldx3u^2+11/3 =13integralduu^2+(raiz113)^2 =13cdot3raiz11arctan!l(3uraiz11r)+C =1raiz11arctan!l(3x-1raiz11r)+C

Passo 4

Integramos (03) integraldxx^2-6x+5 por frações parciais, pois
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)
Escrevemos
1(x-1)(x-5) =Ax-1+Bx-5,
onde A=-tfrac14 e B=tfrac14. Logo,
integraldxx^2-6x+5 =-14lnl|x-1r|+14lnl|x-5r|+C

Passo 5

Integramos (04) integraldx2x^2-2x+1 completando quadrado:
2x^2-2x+1 =2l[(x-tfrac12)^2+(tfrac12)^2r],
então
integraldx2[(x-tfrac12)^2+(tfrac12)^2] =12integraldx(x-tfrac12)^2+(tfrac12)^2 =arctan!(2x-1)+C

Passo 6

Integramos (05) integral6x-73x^2-7x+11,dx. Note que ddx(3x^2-7x+11)=6x-7, logo
integral6x-73x^2-7x+11,dx =lnl|3x^2-7x+11r|+C

Passo 7

Integramos (06) integral7x+16x^2+x-1,dx por frações parciais. Fatorando
6x^2+x-1=6(x-tfrac13)(x+tfrac12),
acha-se
7x+16x^2+x-1 =2/3x-tfrac13+1/2x+tfrac12
Logo
integral7x+16x^2+x-1,dx =23lnl|x-tfrac13r| +12lnl|x+tfrac12r|+C

Passo 8

Integramos (07) integral3x-25x^2-3x+2,dx escrevendo
3x-2 =310(10x-3)-1110,
once 10x-3=(5x^2-3x+2)'. Assim
integral3x-25x^2-3x+2,dx =310lnl|5x^2-3x+2r| -1110integraldx5x^2-3x+2
Completando o quadrado em 5x^2-3x+2=5[(x-tfrac310)^2+(tfracraiz3110)^2] obt’e-se
integraldx5x^2-3x+2 =2raiz31arctan!l(10x-3raiz31r)+C
Portanto
integral3x-25x^2-3x+2,dx =310lnl|5x^2-3x+2r| -115raiz31arctan!l(10x-3raiz31r)+C

Passo 9

Integramos (08) integral6x^4-5x^3+4x^22x^2-x+1,dx por divis~ao de polin^omios:
6x^4-5x^3+4x^22x^2-x+1 =3x^2 -x + x2x^2-x+1
Logo
integrall(3x^2-xr),dx = x^3-x^22,
e para integralx2x^2-x+1dx escrevemos
x=tfrac14(4x-1)+tfrac14,
obtendo
integralx2x^2-x+1dx =14lnl|2x^2-x+1r| +12raiz7arctan!l(4x-1raiz7r)+C
Somando tudo:
integral6x^4-5x^3+4x^22x^2-x+1,dx =x^3-x^22 +14lnl|2x^2-x+1r| +12raiz7arctan!l(4x-1raiz7r)+C

Resposta

( 01) 12arctan!l(x+12r)+C
( 02) 1raiz11arctan!l(3x-1raiz11r)+C
( 03) -14lnl|x-1r|+14lnl|x-5r|+C
( 04) arctan!(2x-1)+C
( 05) lnl|3x^2-7x+11r|+C
( 06) 23lnl|x-tfrac13r|+12lnl|x+tfrac12r|+C
( 07) 310lnl|5x^2-3x+2r|-115raiz31arctan!l(10x-3raiz31r)+C
( 08) x^3-x^22+14lnl|2x^2-x+1r|+12raiz7arctan!l(4x-1raiz7r)+C

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