Calcule as integrais listadas abaixo, usando integração por partes :
(01) integral x e^x d x
(02) integral x ln x d x
(03) integral x sin x d x
(04) integral ln x d x
(05) integral arcsin x d x
(06) integral x^n ln x d x
(07) integral x arctan x d x
(08) integral ln (x^2+1) d x
(09) integral arcsin raizxraizx d x
(10) integral arcsin (raizxx+1) d x
(11) integral x arctan x d x(x^2+1)^2
(12) integral x arctan (raizx^2-1) d x
(13) integral arcsin x d xx^2
(14) integral ln (x+raiz1+x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatorze integrais utilizando o método de integração por partes, cujo conteúdo envolve reconhecer produtos de funções ou funções compostas e aplicar a fórmula de partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du,
onde escolhemos u de modo que sua derivada du simplifique a integral restante, e dv de modo que possamos integrar facilmente até obter v.

Passo 3

Integral (01): integral x e^xdx.
Escolho u = x, dv = e^x dx. Então du = dx, v = e^x.
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C

Passo 4

Integral (02): integral x ln x,dx.
Escolho u = ln x, dv = x,dx. Então du = dxx, v = x^22.
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1xdx = x^22ln x - 12integral x,dx = x^22ln x - x^24 + C

Passo 5

Integral (03): integral xsin x,dx.
Escolho u = x, dv = sin x,dx. Então du = dx, v = -cos x.
integral xsin x,dx = -xcos x - integral(-cos x),dx = -xcos x + integralcos x,dx = -xcos x + sin x + C

Passo 6

Integral (04): integral ln x,dx.
Escolho u=ln x, dv=dx. Então du=dxx, v=x.
integral ln x,dx = xln x - integral xcdot1xdx = xln x - integral 1,dx = xln x - x + C

Passo 7

Integral (05): integral arcsin x,dx.
Escolho u=arcsin x, dv=dx. Então du=dxraiz1-x^2, v=x.
integral arcsin x,dx = xarcsin x - integral xraiz1-x^2,dx = xarcsin x + raiz1-x^2 + C

Passo 8

Integral (06): integral x^nln x,dx com nneq -1.
Escolho u=ln x, dv=x^n dx. Então du=dxx, v=x^n+1n+1.
integral x^nln x,dx =x^n+1n+1ln x - integral x^n+1n+1cdot1xdx =x^n+1n+1ln x - x^n+1(n+1)^2 + C

Passo 9

Integral (07): integral xarctan x,dx.
Escolho u=arctan x, dv=x,dx. Então du=dx1+x^2, v=x^22.
integral xarctan x,dx =x^22arctan x - 12integral x^21+x^2dx =x^22arctan x - 12integrall(1-11+x^2r)dx
=x^22arctan x - 12l(x - arctan xr) + C =x^2+12arctan x - x2 + C

Passo 10

Integral (08): integral ln(x^2+1),dx.
Escolho u=ln(x^2+1), dv=dx. Então du=2xx^2+1dx, v=x.
integral ln(x^2+1),dx = xln(x^2+1) - integral 2x^2x^2+1dx = xln(x^2+1) - 2integrall(1-1x^2+1r)dx
= xln(x^2+1) - 2l(x - arctan xr) + C = xln(x^2+1) - 2x + 2arctan x + C

Passo 11

Integral (09): integral arcsinraizxraizxdx.
Faço t=raizx, x=t^2, dx=2t,dt. Então a integral vira
2integral arcsin t,dt =2l(tarcsin t + raiz1-t^2r) + C =2raizx,arcsinraizx + 2raiz1-x + C

Passo 12

Integral (10): integral arcsin!l(raiztfracxx+1r),dx.
Defino u=raiztfracxx+1. Então x=tfracu^21-u^2, dx=tfrac2u(1-u^2)^2du.
Aplicando partes em integral arcsin(u),2u(1-u^2)^2du obtém-se
(x+1),arcsin!l(raiztfracxx+1r);-;raizx;+;C

Passo 13

Integral (11): integral xarctan x(x^2+1)^2,dx.
Escolho u=arctan x, dv=x(x^2+1)^2dx. Então du=dx1+x^2,
v=integral x(x^2+1)^2dx = -12(x^2+1)
Logo
integral xarctan x(x^2+1)^2dx = -arctan x2(x^2+1) + 12integraldx(x^2+1)^2
e sabe-se que
integraldx(x^2+1)^2 =x2(x^2+1)+arctan x2+C
Combine para obter a forma final.

Passo 14

Integral (12): integral x,arctan!l(raizx^2-1r),dx.
Escolho u=arctan(raizx^2-1), dv=x,dx. Então du=dxxraizx^2-1, v=x^22.
integral x,arctan(raizx^2-1),dx =x^22arctan(raizx^2-1) - 12integral x^2xraizx^2-1dx
=x^22arctan(raizx^2-1) - 12raizx^2-1 + C

Passo 15

Integral (13): integral arcsin xx^2,dx.
Escolho u=arcsin x, dv=x^-2dx. Então du=dxraiz1-x^2, v=-1x.
integral arcsin xx^2dx = -arcsin xx + integral dxxraiz1-x^2 = -arcsin xx + ln!l|1-raiz1-x^2xr| + C

Passo 16

Integral (14): integral ln!l(x+raiz1+x^2r),dx.
Escolho u=ln(x+raiz1+x^2), dv=dx. Então du=dxraiz1+x^2, v=x.
integral ln(x+raiz1+x^2),dx = xln(x+raiz1+x^2) - integral xraiz1+x^2dx = xln(x+raiz1+x^2) - raiz1+x^2 + C

Resposta

(01) x e^x - e^x + C
(02) tfracx^22ln x - tfracx^24 + C
(03) -xcos x + sin x + C
(04) xln x - x + C
(05) xarcsin x + raiz1-x^2 + C
(06) tfracx^n+1n+1ln x - tfracx^n+1(n+1)^2 + C
(07) tfracx^2+12arctan x - tfracx2 + C
(08) xln(x^2+1) - 2x + 2arctan x + C
(09) 2raizx,arcsinraizx + 2raiz1-x + C
(10) (x+1)arcsin!l(raiztfracxx+1r),-,raizx,+C
(11) -arctan x2(x^2+1) + 12l(tfracx2(x^2+1)+tfracarctan x2r)+C
(12) tfracx^22arctan(raizx^2-1) - tfrac12raizx^2-1 + C
(13) -arcsin xx + ln!l|1-raiz1-x^2xr| + C
(14) xln(x+raiz1+x^2) - raiz1+x^2 + C

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