Calcule as integrais listadas abaixo, usando integração por partes :
(01)
(02)
(03)
(04)
(05)
(06)
(07)
(08)
(09)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatorze integrais utilizando o método de integração por partes, cujo conteúdo envolve reconhecer produtos de funções ou funções compostas e aplicar a fórmula de partes.
Passo 2
A fórmula de integração por partes é
onde escolhemos de modo que sua derivada simplifique a integral restante, e de modo que possamos integrar facilmente até obter .
Passo 3
Integral (01): .
Escolho , . Então , .
Passo 4
Integral (02): .
Escolho , . Então , .
Passo 5
Integral (03): .
Escolho , . Então , .
Passo 6
Integral (04): .
Escolho , . Então , .
Passo 7
Integral (05): .
Escolho , . Então , .
Passo 8
Integral (06): com .
Escolho , . Então , .
Passo 9
Integral (07): .
Escolho , . Então , .
Passo 10
Integral (08): .
Escolho , . Então , .
Passo 11
Integral (09): .
Faço , , . Então a integral vira
Passo 12
Integral (10): .
Defino . Então , .
Aplicando partes em obtém-se
Passo 13
Integral (11): .
Escolho , . Então ,
Logo
e sabe-se que
Combine para obter a forma final.
Passo 14
Integral (12): .
Escolho , . Então , .
Passo 15
Integral (13): .
Escolho , . Então , .
Passo 16
Integral (14): integral ln!l(x+raiz1+x^2r),dx.
Escolho u=ln(x+raiz1+x^2), dv=dx. Então du=dxraiz1+x^2, v=x.
integral ln(x+raiz1+x^2),dx = xln(x+raiz1+x^2) - integral xraiz1+x^2dx = xln(x+raiz1+x^2) - raiz1+x^2 + C
Resposta
(01) x e^x - e^x + C
(02) tfracx^22ln x - tfracx^24 + C
(03) -xcos x + sin x + C
(04) xln x - x + C
(05) xarcsin x + raiz1-x^2 + C
(06) tfracx^n+1n+1ln x - tfracx^n+1(n+1)^2 + C
(07) tfracx^2+12arctan x - tfracx2 + C
(08) xln(x^2+1) - 2x + 2arctan x + C
(09) 2raizx,arcsinraizx + 2raiz1-x + C
(10) (x+1)arcsin!l(raiztfracxx+1r),-,raizx,+C
(11) -arctan x2(x^2+1) + 12l(tfracx2(x^2+1)+tfracarctan x2r)+C
(12) tfracx^22arctan(raizx^2-1) - tfrac12raizx^2-1 + C
(13) -arcsin xx + ln!l|1-raiz1-x^2xr| + C
(14) xln(x+raiz1+x^2) - raiz1+x^2 + C