Calcular as integrais abaixo :
integral0^1 x+1(x+2)(x+3) d x;

Passo 1

Temos a integral integral0^1 x+1(x+2)(x+3),dx. O conteúdo é integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Assumimos
x+1(x+2)(x+3) = Ax+2 + Bx+3
Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x+3), obtemos
x+1 = A(x+3) + B(x+2) = (A+B)x + (3A+2B)
Comparando coeficientes, temos
A + B = 1, 3A + 2B = 1
Resolvendo, fica A = -1 e B = 2.

Passo 3

Reescrevendo a integral com as frações parciais:
integral0^1 x+1(x+2)(x+3),dx = integral0^1l(-1x+2 + 2x+3r)dx
Integramos termo a termo usando integral!dxx+a=ln|x+a|:
integrall(-1x+2r)dx = -ln|x+2|, integral2x+3dx = 2ln|x+3|

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1:
l[-ln(x+2) + 2ln(x+3)r]0^1 = l(-ln3 + 2ln4r) - l(-ln2 + 2ln3r) = ln2 + 2ln4 - 3ln3
Como ln4=2ln2, isso fica ln2 + 4ln2 -3ln3 = 5ln2 -3ln3 = ln3227

Resposta

ln3227

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