O enunciado pede a integral definida de uma função racional de 3≤x≤4, ou seja, calcular . O conteúdo principal é integração de frações racionais via decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador para preparar a decomposição. Observamos que
Passo 3
Em seguida escrevemos a decomposição em frações parciais:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por e igualamos coeficientes de potências de x:
Passo 5
Ao expandir e comparar coeficientes obtemos o sistema
Passo 6
Resolvendo, achamos A=1, B=2 e C=0. Logo
3x^2-4x+3x^3-2x^2+3x-6=1x-2+2xx^2+3
Passo 7
Agora integramos termo a termo:
integral1x-2,dx=ln|x-2|,integral2xx^2+3,dx=ln(x^2+3) Então uma antiderivada é
F(x)=ln|x-2|+ln(x^2+3)
Passo 8
Fazendo a diferença de 4 e 3:
F(4)=ln(4-2)+ln(4^2+3)=ln2+ln19=ln38,F(3)=ln(3-2)+ln(3^2+3)=ln1+ln12=ln12 Logo o valor da integral definida é