Calcular as integrais abaixo :
integral3^4 3 x^2-4 x+3x^3-2 x^2+3 x-6 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de uma função racional de 3≤x≤4, ou seja, calcular integral3^43x^2-4x+3x^3-2x^2+3x-6,dx. O conteúdo principal é integração de frações racionais via decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para preparar a decomposição. Observamos que
x^3-2x^2+3x-6=(x^3+3x)-(2x^2+6)=x(x^2+3)-2(x^2+3)=(x-2)(x^2+3)

Passo 3

Em seguida escrevemos a decomposição em frações parciais:
3x^2-4x+3(x-2)(x^2+3)=Ax-2+Bx+Cx^2+3

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x^2+3) e igualamos coeficientes de potências de x:
3x^2-4x+3=A(x^2+3)+(Bx+C)(x-2)

Passo 5

Ao expandir e comparar coeficientes obtemos o sistema
A+B=3, -2B+C=-4, 3A-2C=3

Passo 6

Resolvendo, achamos A=1, B=2 e C=0. Logo
3x^2-4x+3x^3-2x^2+3x-6=1x-2+2xx^2+3

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral1x-2,dx=ln|x-2|,integral2xx^2+3,dx=ln(x^2+3) Então uma antiderivada é
F(x)=ln|x-2|+ln(x^2+3)

Passo 8

Fazendo a diferença de 4 e 3:
F(4)=ln(4-2)+ln(4^2+3)=ln2+ln19=ln38, F(3)=ln(3-2)+ln(3^2+3)=ln1+ln12=ln12 Logo o valor da integral definida é
ln38-ln12=ln3812=ln196

Resposta

ln196

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