Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem homogêneas e método da equação característica
Para resolver: montar a equação característica, encontrar suas raízes e usar a forma geral da solução

Passo 2

Montamos a equação característica associada à equação
2r^2 - 3r + 4 = 0
Aqui usamos a ideia de que cada derivada vira um fator r na equação característica

Passo 3

Calculamos o discriminante para ver o tipo de raízes
De
Como De, as raízes são complexas conjugadas

Passo 4

Encontramos as raízes usando a fórmula quadrática
r = 3 pm iraiz232 cdot 2 = 34 pm i,raiz234
Então temos alpha = tfrac34 e beta = tfracraiz234

Passo 5

Para raízes alpha pm ibeta a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta:

Resposta

y(x)=e^tfrac34xl(C1cosl(tfracraiz234xr)+C2sinl(tfracraiz234xr)r)

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