Calcular as integrais abaixo :
integral0^2 2 x+3x^2+3 x+2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^22x+3x^2+3x+2,dx. O conteúdo envolvido é a decomposição em frações parciais, então vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função racional.

Passo 2

Fatorando o denominador, temos x^2+3x+2=(x+1)(x+2). Assim podemos escrever
2x+3(x+1)(x+2)=Ax+1+Bx+2

Passo 3

Multiplicando por (x+1)(x+2) surge a identidade 2x+3=A(x+2)+B(x+1). Igualando coeficientes de x e termos constantes, obtemos o sistema
A+B=2,2A+B=3
Daí vem A=1 e B=1.

Passo 4

Substituindo na integral, ela se separa em duas integrais simples:
integral0^2l(1x+1+1x+2r)dx
A primitiva é
ln|x+1|+ln|x+2|+C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 2: em x=2 temos ln3+ln4=ln12, e em x=0 temos ln1+ln2=ln2. Fazendo a diferença,
ln12-ln2=ln6

Resposta

ln6

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