Foco em Conceitos
Existem casos especiais em que ? Prove suas afirmações.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma situação particular em que a igualdade seja válida mesmo quando usamos o argumento principal (que fica em Arg(z1 z2)=Arg(z1)+Arg(z2)). Vamos precisar do conceito de forma polar de números complexos e da definição de argumento principal.

Passo 2

Em forma polar, escrevemos
z1 = |z1|e^itheta1, z2 = |z2|e^itheta2,
onde e estão em theta1=Arg(z1).
O produto é
theta2=Arg(z2)
Logo, um representante do argumento de (-pi,pi] é z1z2 = |z1||z2|e^i(theta1+theta2) . Mas o \Arg\ principal deve ficar em z1z2, então
ajustado para o intervalo theta1+theta2.

Passo 3

Para que não haja esse ‘ajuste’ de pm2pi, basta que
-pi < theta1+theta2 <= pi
Nesse caso a soma já está no intervalo do argumento principal e não é preciso subtrair nem somar 2pi.
Portanto, a situação especial em que

ocorre exatamente quando

Passo 4

Em outras palavras, sempre que a soma dos argumentos principais de z1 e z2 permanecer dentro do intervalo (-pi,pi], a igualdade vale sem necessidade de correção por múltiplos de 2pi.

Resposta

Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2) sempre que
-π < Arg(z_1)+Arg(z_2) ≤ π,
pois aí a soma já está no intervalo do argumento principal e não exige ajuste por 2π.

Exercícios relacionados