Foco em Conceitos
Existem casos especiais em que
? Prove suas afirmações.
Existem casos especiais em que
Passo 1
O enunciado pergunta se existe alguma situação particular em que a igualdade seja válida mesmo quando usamos o argumento principal (que fica em
). Vamos precisar do conceito de forma polar de números complexos e da definição de argumento principal.
Passo 2
Em forma polar, escrevemos
onde e estão em
.
O produto é
O produto é
Logo, um representante do argumento de
é
. Mas o \Arg\ principal deve ficar em
, então
ajustado para o intervalo
.
Passo 3
Para que não haja esse ‘ajuste’ de
, basta que
Nesse caso a soma já está no intervalo do argumento principal e não é preciso subtrair nem somar
.
Portanto, a situação especial em que
ocorre exatamente quando
Portanto, a situação especial em que
ocorre exatamente quando
Passo 4
Em outras palavras, sempre que a soma dos argumentos principais de
e
permanecer dentro do intervalo
, a igualdade vale sem necessidade de correção por múltiplos de
.
Resposta
Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2) sempre que
-π < Arg(z_1)+Arg(z_2) ≤ π,
pois aí a soma já está no intervalo do argumento principal e não exige ajuste por 2π.