Dadas as funções
e
, calcular
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ,(g^{-1}\circ f), em ,x=\sqrt{2},. Aqui temos f(x)=1/x (função recíproca) e g(x)=sen(x) em ,[-\pi/2,\pi/2], cuja inversa é g^{-1}(y)=arcsin(y). Vamos usar derivada de função inversa e regra da cadeia.
Passo 2
Definimos h(x)=(g^{-1}\circ f)(x)=arcsin\bigl(1/x\bigr). Pela regra da cadeia, se u(x)=1/x então u’(x)=-1/x^2 e
Para simplificar, note que
Como avaliaremos em x=\sqrt2>0, temos |x|=x, então
Passo 3
Agora basta avaliar em x=\sqrt{2}. Como x^2-1=2-1=1, temos
Resposta
-\frac{1}{\sqrt{2}}