Dadas as funções f(x)=1x, x neq 0 e g(x)=sen(x),-pi2 <= x <= pi2, calcular .

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ,(g^{-1}\circ f), em ,x=\sqrt{2},. Aqui temos f(x)=1/x (função recíproca) e g(x)=sen(x) em ,[-\pi/2,\pi/2], cuja inversa é g^{-1}(y)=arcsin(y). Vamos usar derivada de função inversa e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos h(x)=(g^{-1}\circ f)(x)=arcsin\bigl(1/x\bigr). Pela regra da cadeia, se u(x)=1/x então u’(x)=-1/x^2 e
h'(x)=u'(x)raiz1-[u(x)]^2=-1/x^2raiz1-1x^2
Para simplificar, note que
raiz1-1x^2=raizx^2-1|x|
Como avaliaremos em x=\sqrt2>0, temos |x|=x, então
h'(x)=-1x^2cdot|x|raizx^2-1=-1xraizx^2-1

Passo 3

Agora basta avaliar em x=\sqrt{2}. Como x^2-1=2-1=1, temos
h'(raiz2)=-1raiz2,raiz1=-1raiz2

Resposta

-\frac{1}{\sqrt{2}}

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