Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 3 com coeficientes constantes
Conteúdo: equação característica e solução geral de EDOs lineares

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada a
4y''' + 4y'' + y' = 0
substituímos y = e^rx e obtemos
4r^3 + 4r^2 + r = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico
r(4r^2 + 4r + 1) = 0
Daí temos uma raiz simples r1 = 0 e as raízes da equação quadrática
4r^2 + 4r + 1 = 0
cuja fórmula de Bhaskara dá discriminante zero, logo raiz dupla r2 = r3 = -tfrac12.

Passo 4

Como r1=0 é simples e r2=-tfrac12 é de multiplicidade 2, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
y1 = e^0x = 1,
y2 = e^-x/2,
y3 = x e^-x/2

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral da EDO é uma combinação
y(x) = C1cdot1 + C2 e^-x/2 + C3 x e^-x/2,
onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-x/2 + C3 x e^-x/2

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