Encontre a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' - 4y' - 12y = 0
O conteúdo aqui é o método da equação característica, que transforma a EDO num polinômio em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx e substituímos na EDO para obter a equação característica:
r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = 0

Passo 3

Precisamos resolver o polinômio. Testando raízes inteiras, vemos que r=2 zera o polinômio. Dividindo por r-2 (método de divisão sintética ou fatoração), obtemos:
r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = (r-2)(r^2 + 5r + 6)
E fatorando o segundo termo:
r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3)
Logo as raízes são r=2,,r=-2,,r=-3.

Passo 4

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + C3 e^-3x

Resposta

y(x)=C1 e^2x+C2 e^-2x+C3 e^-3x

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