Calcule as integrais das funções racionais abaixo.
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2} d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é uma função racional: um polinômio no numerador dividido por um polinômio no denominador.
  • O denominador pode ser simplificado como 2x^{2}+2=2(x^{2}+1).
  • Não há informação adicional; a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função.

Passo 2

Estratégia geral (apenas o que vamos fazer, sem resolver ainda): para integrar uma função racional cujo grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é conveniente fazer divisão polinomial para separar uma parte polinomial (fácil de integrar) e uma parte propria (grau do numerador menor que do denominador), que geralmente se resolve com substituição ou fórmulas conhecidas como a do logaritmo e do arco-tangente. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Primeiro simplifico o denominador e escrevo o integrando usando essa simplificação:
\frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{x^{2}+1}.

Passo 4

Faço a divisão polinomial de x^{3}+2x^{2}+4 por x^{2}+1 para separar a parte polinomial da parte propriamente racional.
  • Dividindo, encontra-se que
x^{3}+2x^{2}+4 = (x+2)(x^{2}+1) + (-x+2).
Isto significa que
\frac{x^{3}+2x^{2}+4}{x^{2}+1} = x+2 + \frac{-x+2}{x^{2}+1}.

Passo 5

Substituo essa decomposição na integral (lembrando do fator 1/2 que estava fora):
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2}\,dx = \frac{1}{2}\int\left(x+2 + \frac{-x+2}{x^{2}+1}\right)\,dx.
Agora separo em integrais mais simples:
\frac{1}{2}\int (x+2)\,dx \;+\; \frac{1}{2}\int \frac{-x+2}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Integro a primeira parte (polinomial). São integrais simples termo a termo:
\frac{1}{2}\int (x+2)\,dx = \frac{1}{2}\left(\int x\,dx + \int 2\,dx\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2} + 2x\right) = \frac{x^{2}}{4} + x.
Expliquei: \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2} e \int 2\,dx = 2x.

Passo 7

Agora a segunda parte:
\frac{1}{2}\int \frac{-x+2}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\left(\int \frac{-x}{x^{2}+1}\,dx + 2\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx\right).
Vou resolver cada uma:
  • Para \int \dfrac{-x}{x^{2}+1}\,dx uso a substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, logo x\,dx = \dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{-x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = -\frac{1}{2}\ln|u| + C = -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C.
  • Para \int \dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx uso a fórmula conhecida da primitiva do arco-tangente:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
Portanto
\frac{1}{2}\left(\int \frac{-x}{x^{2}+1}\,dx + 2\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + 2\arctan x\right).

Passo 8

Simplifico a expressão da Parte 7:
\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + 2\arctan x\right) = -\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1) + \arctan x.

Passo 9

Agora junto tudo (parte polinomial da Passo 6 + parte racional da Passo 8):
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2}\,dx = \frac{x^{2}}{4} + x -\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1) + \arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{4}+x-\dfrac{1}{4}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan x + C

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