Calcule as integrais das funções racionais abaixo.
Passo 1
O problema pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é uma função racional: um polinômio no numerador dividido por um polinômio no denominador.
- O denominador pode ser simplificado como
. - Não há informação adicional; a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função.
Passo 2
Estratégia geral (apenas o que vamos fazer, sem resolver ainda): para integrar uma função racional cujo grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é conveniente fazer divisão polinomial para separar uma parte polinomial (fácil de integrar) e uma parte propria (grau do numerador menor que do denominador), que geralmente se resolve com substituição ou fórmulas conhecidas como a do logaritmo e do arco-tangente. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Primeiro simplifico o denominador e escrevo o integrando usando essa simplificação:
Passo 4
Faço a divisão polinomial de
por
para separar a parte polinomial da parte propriamente racional.
- Dividindo, encontra-se que
Isto significa que
Passo 5
Substituo essa decomposição na integral (lembrando do fator
que estava fora):
Agora separo em integrais mais simples:
Passo 6
Integro a primeira parte (polinomial). São integrais simples termo a termo:
Expliquei:
e
.
Passo 7
Agora a segunda parte:
Vou resolver cada uma:
- Para
uso a substituição . Então , logo . Assim
- Para
uso a fórmula conhecida da primitiva do arco-tangente:
Portanto
Passo 8
Simplifico a expressão da Parte 7:
Passo 9
Agora junto tudo (parte polinomial da Passo 6 + parte racional da Passo 8):
onde
é a constante de integração.