calcular as integrais curvilíneas dos campos escalares.
integralC(1+y3) d s, onde C é parametrizada por alpha(t)=(30 cos ^3 t, 30 sen^3 t) ; 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo escalar, que é do tipo “comprimento de arco pesado” por uma função. O conteúdo da matéria é integral curvilínea de campo escalar, e vamos precisar da fórmula
integralC f(x,y),ds = integrala^b fl(x(t),y(t)r),|alpha'(t)|,dt
além da parametrização alpha(t) dada.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a função escalar e a parametrização em termos de t. Temos
f(x,y)=1+ y3,
e
alpha(t)=l(x(t),y(t)r)=l(30cos^3 t,,30sin^3 tr)
Logo,
fl(x(t),y(t)r)=1+30sin^3 t3=1+10sin^3 t
Também calculamos a derivada:
alpha'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=l(-90cos^2 tsin t,,90sin^2 tcos tr)

Passo 3

Agora determinamos |alpha'(t)|. Temos
|alpha'(t)|=raiz(-90cos^2 tsin t)^2+(90sin^2 tcos t)^2 =90raizcos^4 tsin^2 t+sin^4 tcos^2 t
Observando que
cos^4 tsin^2 t+sin^4 tcos^2 t=cos^2 tsin^2 t(cos^2 t+sin^2 t)=cos^2 tsin^2 t,
segue
|alpha'(t)|=90,cos tsin t
Portanto o elemento de arco é ds=90sin tcos t,dt.

Passo 4

Finalmente, montamos a integral:
integralCl(1+tfrac y3r),ds =integral0^pi/2l(1+10sin^3 tr)l(90sin tcos tr),dt
Isso dá
90integral0^pi/2l(sin tcos t+10sin^4 tcos tr)dt =90l(underbraceintegral0^pi/2sin tcos t,dt1/2+10underbraceintegral0^pi/2sin^4 tcos t,dt1/5r)
Calculando as primitivas por substituição u=sin t, obtemos
integral0^pi/2sin tcos t,dt=tfrac12,
integral0^pi/2sin^4 tcos t,dt=tfrac15
Logo o valor final é
90l(tfrac12+10cdottfrac15r)=90times2,5=225

Resposta

225

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