Calcule:
lim x +infty x(raizx^2-1-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+infty xl(raizx^2-1!-xr). O conteúdo envolve limites que levam a uma forma indeterminada do tipo +inftycdot(infty-infty), e vamos precisar usar a técnica de racionalização pelo conjugado para resolver.

Passo 2

Ao analisarmos o comportamento quando xto+infty, temos raizx^2-1sim x, então raizx^2-1-xto0 enquanto xto+infty tende a infinito. Isso gera uma indeterminação do tipo +inftytimes0, o que justifica a racionalização.

Passo 3

Racionalizando pelo conjugado, escrevemos:
x(raizx^2-1-x) = xcdot(raizx^2-1-x)(raizx^2-1+x)raizx^2-1+x = xcdotx^2-1 - x^2raizx^2-1+x = -xraizx^2-1+x

Passo 4

Agora fatoramos x em raizx^2-1 e simplificamos:
raizx^2-1 = xraiz1-1x^2,
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-xraizx^2-1+x = -xxraiz1-1/x^2+x = -1raiz1-1/x^2+1
Aplicando o limite quando xto+infty, temos raiz1-1/x^2to1, então
limxto+infty-1raiz1-1/x^2+1 = -11+1 = -12

Resposta

-12

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