calcular as integrais curvilíneas dos campos escalares.
integralC(|x|+|y|) d s, onde C é o retângulo formado pelas retas x=0, x=4, y=-1 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea de campo escalar
integralC (|x|+|y|),ds
onde C é o contorno do retângulo delimitado por x=0, x=4, y=-1 e y=1. Para resolver, vamos decompor C em quatro arestas, parametrizar cada uma, expressar ds e integrar |x|+|y| em cada segmento.

Passo 2

Aresta superior C1: parametrizamos por
x(t)=t, y(t)=1, tin[0,4]
Temos
ds = raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt = dt,
e o integrando é |x|+|y| = t+1. Logo
integralC1 (|x|+|y|),ds = integral0^4 (t+1),dt = l[tfract^22+tr]0^4 = 8+4 = 12

Passo 3

Aresta inferior C2: parametrizamos por
x(t)=t, y(t)=-1, tin[0,4]
Também ds=dt e |x|+|y|=t+1. Então
integralC2 (|x|+|y|),ds = integral0^4 (t+1),dt = 12

Passo 4

Aresta direita C3: parametrizamos por
x(t)=4, y(t)=t, tin[-1,1]
Aqui ds=dt e |x|+|y|=4+|t|. Assim
integralC3 (|x|+|y|),ds = integral-1^1 (4+|t|),dt = integral-1^14,dt + integral-1^1|t|,dt = 8 + 1 = 9

Passo 5

Aresta esquerda C4: parametrizamos por
x(t)=0, y(t)=t, tin[-1,1]
Temos ds=dt e |x|+|y|=|t|. Logo
integralC4 (|x|+|y|),ds = integral-1^1|t|,dt = 1

Passo 6

Somando as contribuições de todas as arestas, obtemos
12 + 12 + 9 + 1 = 34

Resposta

34

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