4^a Questão: (20 pontos) Encontre os valores de A e B para que a função abaixo seja contínua em toda parte
f(x)= 3 x-A x^2, & se x <= 1 A x^2-B x, & se 1<x<2 -4 x+B, & se x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os valores de A e B para que a função f(x) seja contínua em todo lugar. Isso envolve o estudo de funções por partes e a condição de continuidade. Para isso, vamos precisar garantir que não exista “saltos” na função nos pontos onde a definição muda, que são x = 1 e x = 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando x se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando x se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função naquele ponto. No nosso caso, precisamos aplicar isso nos pontos x = 1 e x = 2 .

Passo 3

Vamos começar garantindo a continuidade em x = 1 . Para isso, calculamos o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Para x <= 1 :
f(x) = 3x - A x^2
O limite quando x tende a 1 pela esquerda é:
limx to 1^- f(x) = 3(1) - A(1)^2 = 3 - A
Para 1 < x < 2 :
f(x) = A x^2 - B x
O limite quando x tende a 1 pela direita é:
limx to 1^+ f(x) = A(1)^2 - B(1) = A - B
Para a função ser contínua em x = 1 , os limites devem ser iguais:
3 - A = A - B
Simplificando essa equação:
3 - A = A - B implies 3 = 2A - B (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos garantir a continuidade em x = 2 . Calculamos os limites pela esquerda e pela direita de 2.
Para 1 < x < 2 :
f(x) = A x^2 - B x
O limite quando x tende a 2 pela esquerda é:
limx to 2^- f(x) = A(2)^2 - B(2) = 4A - 2B
Para x >= 2 :
f(x) = -4x + B
O limite quando x tende a 2 pela direita é:
limx to 2^+ f(x) = -4(2) + B = -8 + B
Para a função ser contínua em x = 2 , os limites devem ser iguais:
4A - 2B = -8 + B
Simplificando essa equação:
4A - 2B = -8 + B implies 4A - 3B = -8 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2A - B = 3 (Equação 1) 4A - 3B = -8 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar B em função de A :
B = 2A - 3
Substituindo esse valor na Equação 2:
4A - 3(2A - 3) = -8 4A - 6A + 9 = -8 -2A + 9 = -8 -2A = -17 A = 172 = 8,5
Agora, substituindo A = 8,5 na expressão de B :
B = 2(8,5) - 3 = 17 - 3 = 14

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função são A = 172 e B = 14 .

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