Questão: (20 pontos) Encontre os valores de e para que a função abaixo seja contínua em toda parte
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os valores de A e B para que a função f(x) seja contínua em todo lugar. Isso envolve o estudo de funções por partes e a condição de continuidade. Para isso, vamos precisar garantir que não exista “saltos” na função nos pontos onde a definição muda, que são x = 1 e x = 2 .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando x se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando x se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função naquele ponto. No nosso caso, precisamos aplicar isso nos pontos x = 1 e x = 2 .
Passo 3
Vamos começar garantindo a continuidade em x = 1 . Para isso, calculamos o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Para x <= 1 :
f(x) = 3x - A x^2
O limite quando x tende a 1 pela esquerda é:
limx to 1^- f(x) = 3(1) - A(1)^2 = 3 - A
Para 1 < x < 2 :
f(x) = A x^2 - B x
O limite quando x tende a 1 pela direita é:
limx to 1^+ f(x) = A(1)^2 - B(1) = A - B
Para a função ser contínua em x = 1 , os limites devem ser iguais:
3 - A = A - B
Simplificando essa equação:
3 - A = A - B implies 3 = 2A - B (Equação 1) çã
Passo 4
Agora, vamos garantir a continuidade em x = 2 . Calculamos os limites pela esquerda e pela direita de 2.
Para 1 < x < 2 :
f(x) = A x^2 - B x
O limite quando x tende a 2 pela esquerda é:
limx to 2^- f(x) = A(2)^2 - B(2) = 4A - 2B
Para x >= 2 :
f(x) = -4x + B
O limite quando x tende a 2 pela direita é:
limx to 2^+ f(x) = -4(2) + B = -8 + B
Para a função ser contínua em x = 2 , os limites devem ser iguais: