Dados três números inteiros a, b e c, não nulos, podemos nos perguntar como calcular o seu mínimo múltiplo comum mmc(a, b, c), ou seja, o menor elemento positivo do conjunto dos múltiplos comuns de a, b e c.
Portanto, queremos determinar o menor elemento positivo do conjunto
a Z cap b Z cap c Z=(a Z cap b Z) cap c Z=mmc(a, b) Z cap c Z
Isto nos mostra que
mmc(a, b, c)=mmc(mmc(a, b), c)
Assim, para calcular o mmc de três números recai-se no cálculo de dois mmc de dois números.
Problema 3.39. Calcule mmc(4,6,9).

Passo 1

O enunciado pede o menor elemento positivo de
4Z;cap;6Z;cap;9Z,
ou seja mmc(4,6,9). Sabemos a propriedade
mmc(a,b,c)=mmcl(mmc(a,b),,cr),
e vamos usar a fatoração prima para calcular dois mmc de dois números.

Passo 2

Para mmc(4,6) fatoramos cada número:
4 = 2^2, 6 = 2cdot3
Tomando os maiores expoentes em cada primo, temos
mmc(4,6)=2^2cdot3=4cdot3=12

Passo 3

Agora calculamos mmc(12,9). Fatorando:
12 = 2^2cdot3^1, 9 = 3^2
Pegamos os maiores expoentes de cada primo e obtemos
mmc(12,9)=2^2cdot3^2=4cdot9=36

Resposta

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