calcular as integrais curvilíneas dos campos escalares.
integralC x z d s, onde C é a intersecção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=x.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de um campo escalar
integralC x,z,ds
onde C é a curva de interseção da esfera
;x^2+y^2+z^2=4
com o plano
;y=x
Para resolver vamos parametrizar C e usar a fórmula da integral de linha para campo escalar:
integralC f(x,y,z),ds=integrala^bfl(x(t),y(t),z(t)r),llvert r'(t)rrvert,dt

Passo 2

Como o plano y=x passa pela origem, a curva é um círculo de raio 2. No plano y=x podemos escolher uma base ortonormal
e1=(1,1,0)raiz2, e2=(0,0,1),
então a parametrização em função de thetain[0,2pi] é
r(theta) =2costheta,e1+2sintheta,e2 =(raiz2costheta,;raiz2costheta,;2sintheta)

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(theta) =l(-raiz2sintheta,,-raiz2sintheta,;2costhetar)
e seu comprimento
llvert r'(theta)rrvert =raiz2sin^2theta+2sin^2theta+4cos^2theta =raiz4=2
O integrando é
x(theta),z(theta) =(raiz2costheta),(2sintheta) =2raiz2,costhetasintheta,
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integralCx,z,ds =integral0^2pi2raiz2costhetasintheta;llvert r'(theta)rrvert,dtheta =2integral0^2pi2raiz2costhetasintheta,dtheta =4raiz2integral0^2picosthetasintheta,dtheta

Passo 4

Observando que
integral0^2picosthetasintheta,dtheta =12integral0^2pisin(2theta),dtheta =0,
concluímos que a integral procurada vale zero.

Resposta

0

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