Determine L para que a função dada seja contínua no ponto p. Justifique.
f(x)=ccraizx-raiz3x-3, & se x neq 3 L, & se x=3, p=3

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de L de modo que a função
f(x)= raizx-raiz3x-3, & xneq 3, L, & x=3
seja contínua em p=3. O conteúdo usado aqui é limite de uma função e o conceito de continuidade num ponto (precisamos que o valor da função em 3 seja igual ao limite quando x→3).

Passo 2

Para que f seja contínua em x=3, deve valer
L=limxto 3raizx-raiz3x-3
Então vamos calcular esse limite.

Passo 3

Para calcular
limxto 3raizx-raiz3x-3,
nos beneficiamos de uma racionalização multiplicando numerador e denominador por (\sqrt{x}+\sqrt{3}):
raizx-raiz3x-3cdotraizx+raiz3raizx+raiz3 =x-3(x-3)(raizx+raiz3) =1raizx+raiz3
Agora basta tomar x→3:

Passo 4

Ao aplicar x→3 em
1raizx+raiz3,
obtemos
1raiz3+raiz3=12raiz3
Logo, para garantir continuidade, deve-se definir L igual a esse valor.

Resposta

L = \frac{1}{2\sqrt{3}}

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