Calcule.
lim x +infty(1+12 x)^x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto+inftyl(1+12xr)^x
Aqui o conteúdo é limite de forma exponencial. Para resolver vamos usar a transformação com logaritmo natural e o Teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Defina
L = limxto+inftyl(1+12xr)^x
Tomando logaritmo natural, obtemos
ln L = limxto+inftyxln!l(1+tfrac12xr)

Passo 3

Reescreva o produto como quociente para aplicar l’Hôpital:
ln L = limxtoinftyln!l(1+tfrac12xr)tfrac1x
No numerador a derivada é
ddxln!l(1+tfrac12xr) =-12x^2cdot11+tfrac12x
e no denominador é
ddxl(tfrac1xr)=-1x^2
Logo, pelo Teorema de l’Hôpital,
ln L =limxtoinfty -12x^2(1+tfrac12x)-1x^2 =limxtoinfty12l(1+tfrac12xr) =12

Passo 4

Voltando à L, temos
L = e^ln L = e^1/2

Resposta

raize

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