Nesta seção analisaremos a aritmética dos restos da divisão por 3 .
Vamos organizar os números inteiros numa tabela como segue:
-9 -8 -7
-6 -5 -4
-3 -2 -1
0 1 2
3 4 5
6 7 8
9 10 11
Note que os números da primeira coluna são os múltiplos de 3, ou seja, os números que deixam resto nulo quando divididos por 3 . Os números da segunda e da terceira coluna são, respectivamente, aqueles que deixam resto 1 e 2 quando divididos por 3 .
Fazendo uma análise semelhante àquela feita na seção anterior, nota-se que o resto da divisão por 3 da soma ou do produto de dois números só depende da coluna ocupada por esses números, ou seja só depende dos restos da divisão desses números por 3 e não dos números em si.
Assim, atribuindo o símbolo aos números da primeira coluna (que são os múltiplos de 3 ) e os símbolos e , respectivamente, aos números que ocupam a segunda e terceira coluna (que são os números que deixam restos 1 e 2 , quando divididos por 3 ), obtemos as seguintes tabelas que regem os restos da divisão por 3 das somas e produtos dos números naturais:
+
Problema 3.33. Usando as tabelas acima, ache o resto da divisão por 3 do número .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão por 3 de
4^100 + 32^30
e nos dá as tabelas das classes 0,1,2 em aritmética módulo 3.
Para resolver, vamos:
  1. Identificar a que classe cada base pertence.
  2. Usar a tabela de produto para elevar cada classe à potência.
  3. Usar a tabela de soma para juntar os resultados e obter a classe final.

Passo 2

Determinar as classes de 4 e de 32 módulo 3:
4 deixa resto 1 na divisão por 3, logo pertence à classe 1.
32 deixa resto 2 na divisão por 3, logo pertence à classe 2.

Passo 3

Calcular 4^100 em módulo 3, isto é, 1^100.
Pela tabela de multiplicação, 1times1=1, logo
1^100 = 1

Passo 4

Calcular 32^30 em módulo 3, isto é, 2^30.
Na tabela de multiplicação, 2times2=1, então
2^30 = l(2^2r)^15 = 1^15 = 1

Passo 5

Somar as duas classes pelo módulo 3:
1 + 1 = 2
pela tabela de soma. Portanto o resto da divisão por 3 de 4^100+32^30 é 2.

Resposta

2

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