Nesta seção analisaremos a aritmética dos restos da divisão por 3 .
Vamos organizar os números inteiros numa tabela como segue:
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Note que os números da primeira coluna são os múltiplos de 3, ou seja, os números que deixam resto nulo quando divididos por 3 . Os números da segunda e da terceira coluna são, respectivamente, aqueles que deixam resto 1 e 2 quando divididos por 3 .
Fazendo uma análise semelhante àquela feita na seção anterior, nota-se que o resto da divisão por 3 da soma ou do produto de dois números só depende da coluna ocupada por esses números, ou seja só depende dos restos da divisão desses números por 3 e não dos números em si.
Assim, atribuindo o símbolo
aos números da primeira coluna (que são os múltiplos de 3 ) e os símbolos
e
, respectivamente, aos números que ocupam a segunda e terceira coluna (que são os números que deixam restos 1 e 2 , quando divididos por 3 ), obtemos as seguintes tabelas que regem os restos da divisão por 3 das somas e produtos dos números naturais:
+
Problema 3.33. Usando as tabelas acima, ache o resto da divisão por 3 do número
.
Vamos organizar os números inteiros numa tabela como segue:
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-9 | -8 | -7 |
-6 | -5 | -4 |
-3 | -2 | -1 |
0 | 1 | 2 |
3 | 4 | 5 |
6 | 7 | 8 |
9 | 10 | 11 |
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+ |
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Passo 1
O enunciado pede o resto da divisão por 3 de
e nos dá as tabelas das classes
em aritmética módulo 3.
Para resolver, vamos:
Para resolver, vamos:
- Identificar a que classe cada base pertence.
- Usar a tabela de produto para elevar cada classe à potência.
- Usar a tabela de soma para juntar os resultados e obter a classe final.
Passo 2
Determinar as classes de
e de
módulo 3:
deixa resto
na divisão por
, logo pertence à classe
.
deixa resto
na divisão por
, logo pertence à classe
.
Passo 3
Calcular
em módulo 3, isto é,
.
Pela tabela de multiplicação, , logo
Pela tabela de multiplicação,
Passo 4
Calcular
em módulo 3, isto é,
.
Na tabela de multiplicação, , então
Na tabela de multiplicação,
Passo 5
Somar as duas classes pelo módulo 3:
pela tabela de soma. Portanto o resto da divisão por 3 de
é
.
Resposta
2