Calcular a integral da função escalar f(x, y)=x^2 ao longo da curva parametrizada por r(t)=(e^sen t-1, e^sen t-1), 0<t<pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x^2 ao longo da curva
vec r(t) = l(e^sin t-1,;e^sin t-1r), 0<t<pi2
O conteúdo aqui é integral de linha de escalar, que usa a fórmula
integralC f(x,y),ds = integralt0^t1 fl(x(t),y(t)r),|vec r,'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos vec r,'(t). Como x(t)=y(t)=e^sin t-1,
x'(t)=y'(t)=ddte^sin t=e^sin tcos t
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vec r,'(t)=l(e^sin tcos t,;e^sin tcos tr),
e o comprimento do vetor é
|vec r,'(t)| =raiz(e^sin tcos t)^2+(e^sin tcos t)^2 =raiz2,e^sin tcos t,
já que cos t>0 em l(0,tfracpi2r).

Passo 3

Substituímos na integral de linha:
fl(x(t),y(t)r) = l(e^sin t-1r)^2,
portanto
integralC f,ds =integral0^pi/2l(e^sin t-1r)^2;raiz2,e^sin tcos t;dt =raiz2integral0^pi/2l(e^sin t-1r)^2 e^sin tcos t;dt

Passo 4

Fazemos a substituição de variável
w=e^sin t, dw=e^sin tcos t;dt,
os limites passam de t=0to w=1 e t=tfracpi2to w=e. Assim
integral0^pi/2l(e^sin t-1r)^2 e^sin tcos t;dt =integral1^e(w-1)^2,dw

Passo 5

Integramos em w:
integral1^e(w-1)^2,dw =[(w-1)^33]1^e =(e-1)^33
Portanto a integral de linha vale
raiz2,(e-1)^33 =raiz23(e-1)^3

Resposta

raiz23(e-1)^3

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