calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
{\oint_{C}(\sqrt{y} d x+\sqrt{x} d y) onde C é o contorno formado pelas retas y=0, x=1 e a parábola y=x^{2} no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\oint_{C}\bigl(\sqrt{y}\,dx+\sqrt{x}\,dy\bigr)
onde C é o contorno orientado anti-horário formado por y=0, x=1 e y=x^2. Para isso vamos usar o Teorema de Green, que afirma:
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interior a C.

Passo 2

Aqui temos
P(x,y)=\sqrt{y}, \quad Q(x,y)=\sqrt{x}.
Calculando as derivadas parciais,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,x^{-1/2} \quad\text{e}\quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{d}{dy}\bigl(y^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,y^{-1/2}.

Passo 3

A região D é limitada por y=0 (embaixo), x=1 (à direita) e y=x^2 (acima), com 0\le x\le1. Assim
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x^2\}.

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}\bigl(\sqrt{y}\,dx+\sqrt{x}\,dy\bigr) =\iint_{D}\Bigl(\tfrac12\,x^{-1/2}-\tfrac12\,y^{-1/2}\Bigr)\,dA.
Escrevendo como integral iterada e fazendo primeiro em y:
\iint_{D}\Bigl(x^{-1/2}-y^{-1/2}\Bigr)\,\tfrac12\,dA =\tfrac12\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x^2}\bigl(x^{-1/2}-y^{-1/2}\bigr)\,dy\,dx.
No interno,
\int_{0}^{x^2}x^{-1/2}\,dy =x^{-1/2}\cdot x^2=x^{3/2}, \quad \int_{0}^{x^2}y^{-1/2}\,dy =\bigl[2\sqrt{y}\bigr]_{0}^{x^2}=2x.
Logo o interno vale x^{3/2}-2x.

Passo 5

Agora integramos em x:
\tfrac12\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-2x\bigr)\,dx =\tfrac12\Bigl[\int_{0}^{1}x^{3/2}\,dx-\int_{0}^{1}2x\,dx\Bigr] =\tfrac12\Bigl(\tfrac{2}{5}-1\Bigr) =\tfrac12\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr) =-\tfrac{3}{10}.

Resposta

\oint_{C}\bigl(\sqrt{y}\,dx+\sqrt{x}\,dy\bigr)=-\tfrac{3}{10}.

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