Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
\oint_{C}(\sqrt{y} d x+\sqrt{x} d y) onde C é o contorno formado pelas retas y=0, x=1 e a parábola y=x^{2} no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C}\bigl(\sqrt{y}\,dx+\sqrt{x}\,dy\bigr)
onde C é o contorno formado por y=0, x=1 e y=x^2, percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Green. Vamos precisar identificar P(x,y) e Q(x,y), calcular \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y, descrever a região D e transformá-la numa integral dupla.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=\sqrt{y},\qquad Q(x,y)=\sqrt{x}.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{d}{dx}\sqrt{x} =\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{d}{dy}\sqrt{y} =\frac{1}{2\sqrt{y}}.

Passo 3

A região D é delimitada por
y=0,\quad x=1,\quad y=x^2
e consiste nos pontos abaixo da parábola, acima do eixo x e à esquerda de x=1. Em notação:
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x^2\bigr\}.

Passo 4

Substituindo em Green,
\oint_{C}\bigl(\sqrt{y}\,dx+\sqrt{x}\,dy\bigr) =\iint_{D}\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{y}}\Bigr)\,dA.
Escrevemos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x^2}\bigl(\tfrac1{2\sqrt{x}}-\tfrac1{2\sqrt{y}}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Separamos em duas integrais:
I_1=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x^2}\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dy\,dx, \quad I_2=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x^2}\frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy\,dx.
Para I_1:
I_1 =\int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}}\bigl[y\bigr]_{0}^{x^2}\,dx =\int_{0}^{1}\frac{x^2}{2\sqrt{x}}\,dx =\frac12\!\int_{0}^{1}x^{3/2}\,dx =\frac12\cdot\frac{2}{5} =\frac{1}{5}.
Para I_2:
I_2 =\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\Bigl[\!2\sqrt{y}\Bigr]_{0}^{x^2}dx =\int_{0}^{1}\sqrt{x^2}\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac12.

Passo 6

Voltando à integral de linha:
\oint_{C}(\sqrt{y}\,dx+\sqrt{x}\,dy) =I_1 - I_2 =\frac{1}{5}-\frac12 =-\frac{3}{10}.

Resposta

-\frac{3}{10}.

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