Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
\oint_{C}(\sqrt{y} d x+\sqrt{x} d y) onde C é o contorno formado pelas retas y=0, x=1 e a parábola y=x^{2} no sentido anti-horário.
\oint_{C}(\sqrt{y} d x+\sqrt{x} d y) onde C é o contorno formado pelas retas y=0, x=1 e a parábola y=x^{2} no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é o contorno formado por
,
e
, percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Green. Vamos precisar identificar e
, calcular
e
, descrever a região
e transformá-la numa integral dupla.
Conteúdo: Teorema de Green. Vamos precisar identificar
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green,
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
A região
é delimitada por
e consiste nos pontos abaixo da parábola, acima do eixo
e à esquerda de
. Em notação:
Passo 4
Substituindo em Green,
Escrevemos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
Passo 5
Separamos em duas integrais:
Para
:
Para
:
Passo 6
Voltando à integral de linha: